Verifique quais dos conjuntos abaixo são abertos em
.
(a)
;
(b)
;
©
e
;
(d)
e
;
(e)
.
Desenhe cada uma destas regiões do plano.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Desenhe cada uma destas regiões do plano.
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver um exercício de análise matemática onde precisamos verificar quais dos conjuntos listados são abertos no plano
. Vamos usar conceitos de topologia, especificamente sobre conjuntos abertos, e entender as definições para cada caso. Para isso, vamos analisar cada conjunto dado pelas desigualdades e determinar se eles atendem aos critérios de abertos.
Passo 2
Vamos começar com o conjunto A:
Esse conjunto representa todos os pontos dentro do círculo de raio 1 centrado na origem, excluindo a borda. Para ser aberto, todo ponto em A deve ter uma “vizinhança” totalmente contenida em A. Como a desigualdade é estrita (
), o conjunto não inclui os pontos da borda, então qualquer ponto em A pode ter um pequeno círculo ao redor sem sair de A. Portanto, A é aberto.
Passo 3
Agora, vamos para o conjunto B:
Esse conjunto inclui todos os pontos onde a soma das coordenadas é maior ou igual a 1. A desigualdade é não estrita (
), o que inclui a reta
. Para ser aberto, os pontos na fronteira (neste caso, na reta) não deveriam estar incluídos, mas como estão, qualquer ponto na reta não tem uma vizinhança totalmente dentro de B. Portanto, B não é aberto.
Passo 4
Vamos analisar o conjunto C:
Aqui, temos dois requisitos: estar dentro ou na borda do círculo de raio 1 e ter a soma das coordenadas maior que 3. Porém, se observarmos, não existe nenhum ponto que satisfaça
e
ao mesmo tempo, já que
está muito além do círculo de raio 1. Portanto, C é vazio, e o conjunto vazio é considerado aberto.
Passo 5
Vamos para o conjunto D:
Esse conjunto é uma linha vertical no plano onde
e
está entre 1 e 3. Em
, linhas ou segmentos de linha não são abertos porque não contêm nenhuma “área” ao redor de seus pontos. Qualquer pequeno círculo ao redor de um ponto em D incluiria pontos que não estão em D. Portanto, D não é aberto.
Passo 6
Por último, vamos verificar o conjunto E:
Vamos analisar a desigualdade
. Note que
é sempre não negativo, e
pode variar. Porém, a soma
nunca é negativa para números reais, pois é igual a
. Portanto, não existem pontos que satisfazem
, tornando E o conjunto vazio, que é aberto.
Resposta
Os conjuntos A, C e E são abertos em
.