Calcule a taxa de variação da função z=x^2+y^2 no ponto (1,2) na direção do vetor v=(3,4).

Passo 1

Temos a função z = x^2 + y^2 e queremos a taxa de variação em (1,2) na direção do vetor vec v = (3,4). O conteúdo aqui é derivada direcional, que usa o gradiente da função projetado na direção unitária de vec v.

Passo 2

O gradiente de f(x,y)=x^2+y^2 é dado por nabla f(x,y) = l(partial fpartial x,partial fpartial yr). Calculando as derivadas parciais:
partial fpartial x = 2x, partial fpartial y = 2y
No ponto (1,2), temos
nabla f(1,2) = (2cdot1,,2cdot2) = (2,4)

Passo 3

Para a derivada direcional, precisamos do vetor unitário na direção de vec v=(3,4). A norma de vec v é
|vec v| = raiz3^2+4^2 = 5
Então o vetor unitário é
vec u = 15(3,4) = l(35,45r)

Passo 4

Finalmente, a taxa de variação (derivada direcional) é o produto escalar
Dvec uf(1,2) = nabla f(1,2) cdot vec u = (2,4) cdot l(35,45r) = 6+165 = 225

Resposta

225

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