Determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função z=f(x, y) dada implicitamente pela equação: x^2+4 y^2+16 z^2=64

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de uma função z=f(x,y) definida implicitamente por x^2+4y^2+16z^2=64. Vamos usar diferenciação implícita e regras de derivadas parciais para chegar às expressões de zx,zy,zxx,zxy e zyy.

Passo 2

Diferenciando a equação implícita em relação a x (tratando y como constante), aplicamos a regra da cadeia em 16z^2:
ddx(x^2) + ddx(4y^2) + ddx(16z^2) = 0
Isso dá
2x + 0 + 16 cdot 2z cdot zx = 0 Longrightarrow 2x + 32z,zx = 0
Isolando zx:
zx = -2x32z = -x16z

Passo 3

Agora, diferenciando a mesma equação em relação a y (com x constante), temos:
ddy(x^2) + ddy(4y^2) + ddy(16z^2) = 0
Ou seja
0 + 8y + 32z,zy = 0 Longrightarrow zy = -8y32z = -y4z

Passo 4

Para as segundas derivadas, usamos novamente diferenciação implícita e produto/quotient rule sobre zx = -tfracx16z:
zxx = ddxl(-x16zr) = -1cdot16z - (-x)cdot16zx(16z)^2 = -16z +16x,zx256z^2
Substituindo zx = -tfracx16z:
zxx = -16z - tfrac16x^216z256z^2 = -16z^2+x^2256z^3

Passo 5

Para zxy, diferenciamos zx em relação a y:
zxy = ddyl(-x16zr) = -xcdotddyl(116zr) = -xcdotl(-16zy(16z)^2r) = x,zy16z^2
Como zy=-tfracy4z, obtemos
zxy = -x y64z^3

Passo 6

Finalmente, para zyy diferenciamos zy = -tfracy4z em relação a y:
zyy = ddyl(-y4zr) = -1cdot4z -(-y)cdot4zy(4z)^2 = -4z +4y,zy16z^2
Substituindo zy=-tfracy4z resulta
zyy = -4z^2+y^216z^3

Resposta

z_x = -\frac{x}{16z}, \quad z_y = -\frac{y}{4z},\quad z_{xx} = -\frac{16z{2}+x{2}}{256z^{3}}, \quad z_{xy} = -\frac{x y}{64z^{3}}, \quad z_{yy} = -\frac{4z{2}+y{2}}{16z^{3}}.

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