Determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
dada implicitamente pela equação:
Passo 1
O enunciado pede as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de uma função z=f(x,y) definida implicitamente por
. Vamos usar diferenciação implícita e regras de derivadas parciais para chegar às expressões de
e
.
Passo 2
Diferenciando a equação implícita em relação a
(tratando
como constante), aplicamos a regra da cadeia em
:
Isso dá
Isolando
:
Passo 3
Agora, diferenciando a mesma equação em relação a
(com
constante), temos:
Ou seja
Passo 4
Para as segundas derivadas, usamos novamente diferenciação implícita e produto/quotient rule sobre
:
Substituindo
:
Passo 5
Para
, diferenciamos
em relação a
:
Como
, obtemos
Passo 6
Finalmente, para
diferenciamos
em relação a
:
Substituindo
resulta
Resposta
z_x = -\frac{x}{16z}, \quad z_y = -\frac{y}{4z},\quad z_{xx} = -\frac{16z{2}+x{2}}{256z^{3}}, \quad z_{xy} = -\frac{x y}{64z^{3}}, \quad z_{yy} = -\frac{4z{2}+y{2}}{16z^{3}}.