Questāo 2. (Valor 2.0) Encontre umn transformação (justificando o passo a passo) T: R^{3} \rightarrow R^{4} tal que:
O núcleo de Té gerado pelos vetores \{(1,1,3)\}.
A imagem de T contém os vetores B=\{(1,3,1,0),(1,2,-1,4)\}
Passo 1
O enunciado pede uma transformação linear \;T: \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{4}
tal que
\ker T=\mathrm{span}\{(1,1,3)\},
\mathrm{Im}\,T contenha os vetores \;(1,3,1,0) e (1,2,-1,4).
Vamos usar o Teorema Fundamental do Álgebra Linear (dimensão do núcleo + dimensão da imagem = dimensão do domínio) e representar T por uma matriz 4\times3.
Passo 2
Como \dim\ker T=1 e \dim\mathbb{R}^3=3, o teorema da dimensão dá
\dim\mathrm{Im}\,T = 3 - 1 = 2.
Portanto queremos que \mathrm{Im}\,T seja exatamente um subespaço de dimensão 2 que contenha os dois vetores dados. Esses dois vetores são independentes em \mathbb{R}^4, logo podemos fazer com que eles gerem \mathrm{Im}\,T.
Passo 3
Representemos T pela matriz
A = \bigl[c_{1}\;\;c_{2}\;\;c_{3}\bigr],
onde cada c_{j}\in\mathbb{R}^4 é a imagem de \mathbf{e}_j. Para garantir que \mathrm{Im}\,T contém (1,3,1,0) e (1,2,-1,4), escolhemos