Questāo 2. (Valor 2.0) Encontre umn transformação (justificando o passo a passo) T: R^{3} \rightarrow R^{4} tal que:
  • O núcleo de Té gerado pelos vetores \{(1,1,3)\}.
  • A imagem de T contém os vetores B=\{(1,3,1,0),(1,2,-1,4)\}

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear
\;T: \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{4}
tal que
  1. \ker T=\mathrm{span}\{(1,1,3)\},
  2. \mathrm{Im}\,T contenha os vetores
    \;(1,3,1,0) e (1,2,-1,4).
    Vamos usar o Teorema Fundamenta­l do Álgebra Linear (dimensão do núcleo + dimensão da imagem = dimensão do domínio) e representar T por uma matriz 4\times3.

Passo 2

Como \dim\ker T=1 e \dim\mathbb{R}^3=3, o teorema da dimensão dá
\dim\mathrm{Im}\,T = 3 - 1 = 2.
Portanto queremos que \mathrm{Im}\,T seja exatamente um subespaço de dimensão 2 que contenha os dois vetores dados. Esses dois vetores são independentes em \mathbb{R}^4, logo podemos fazer com que eles gerem \mathrm{Im}\,T.

Passo 3

Representemos T pela matriz
A = \bigl[c_{1}\;\;c_{2}\;\;c_{3}\bigr],
onde cada c_{j}\in\mathbb{R}^4 é a imagem de \mathbf{e}_j. Para garantir que \mathrm{Im}\,T contém (1,3,1,0) e (1,2,-1,4), escolhemos
c_{1} = \begin{pmatrix}1\\\ 3\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}, \quad c_{2} = \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ -1\\\ 4\end{pmatrix}.

Passo 4

Para que \ker T=\mathrm{span}\{(1,1,3)\}, precisamos que
A\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 3\end{pmatrix} = c_{1}+c_{2}+3\,c_{3} = 0.
Isto implica
3\,c_{3} = -\bigl(c_{1}+c_{2}\bigr).

Passo 5

Calculamos
c_{1}+c_{2} =\begin{pmatrix}1\\\ 3\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ -1\\\ 4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\\ 5\\\ 0\\\ 4\end{pmatrix},
logo
c_{3} =-\tfrac{1}{3}\begin{pmatrix}2\\\ 5\\\ 0\\\ 4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\tfrac{2}{3}\\[4pt]-\tfrac{5}{3}\\[4pt]0\\[4pt]-\tfrac{4}{3}\end{pmatrix}.]

Passo 6

Assim a matriz de T é
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -\tfrac{2}{3}\\\\ 3 & 2 & -\tfrac{5}{3}\\\\ 1 & -1 & 0\\\\ 0 & 4 & -\tfrac{4}{3} \end{pmatrix}.
Verificamos que
  • \mathrm{Im}\,T=\mathrm{span}\{c_{1},c_{2}\}=\mathrm{span}\{(1,3,1,0),(1,2,-1,4)\},
  • A(1,1,3)^{T}=0, logo \ker T=\mathrm{span}\{(1,1,3)\}.

Resposta

Definimos T(x,y,z) pela regra
T(x,y,z) = x\begin{pmatrix}1\\\ 3\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} + y\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ -1\\\ 4\end{pmatrix} + z\begin{pmatrix}-\tfrac{2}{3}\\[3pt]-\tfrac{5}{3}\\[3pt]0\\[3pt]-\tfrac{4}{3}\end{pmatrix}.]

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