Sejam F, G \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{2}\right) os operadores lineares dados por F(x, y)=(0, x) e G(x, y)= (x, 0). Mostre que o operador F \circ G é nilpotente.

Passo 1

O enunciado dá dois operadores lineares F,G:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definidos por
F(x,y)=(0,x)
G(x,y)=(x,0).
A pergunta é: mostrar que o operador F\circ G é nilpotente (isto é, existe um inteiro k\ge1 tal que (F\circ G)^k é o operador zero).

Passo 2

Vamos lembrar direitinho o que significa “nilpotente” e o que é o operador zero:
\text{Um operador linear }N\text{ é nilpotente se existe }k\ge1\text{ tal que }N^k=0,é
onde 0 é o operador que envia todo vetor para o vetor nulo (0,0). Aqui N^k significa a composição de N consigo mesmo k vezes. Nosso objetivo prático na prova é encontrar um k e provar que (F\circ G)^k manda todo (x,y)\in\mathbb{R}^2 para (0,0).

Passo 3

Calculemos explicitamente (F\circ G)(x,y). Por definição de composição,
(F\circ G)(x,y)=F\big(G(x,y)\big).
Primeiro calculo G(x,y). Pelas hipóteses,
G(x,y)=(x,0).
Agora aplico F a esse resultado:
F\big(G(x,y)\big)=F(x,0).
Pela definição de F,
F(x,0)=(0,x).
Portanto, para todo (x,y),
(F\circ G)(x,y)=(0,x).
Observe que isso coincide com a fórmula de F aplicada ao mesmo (x,y); ou seja, (F\circ G)(x,y)=F(x,y) para todo (x,y).

Passo 4

Agora vamos aplicar (F\circ G) duas vezes a um vetor genérico (x,y). Usando o resultado do passo anterior,
(F\circ G)^2(x,y)=(F\circ G)\big((F\circ G)(x,y)\big)=(F\circ G)(0,x).
Aplicando a fórmula (F\circ G)(u,v)=(0,u) com (u,v)=(0,x), obtemos
(F\circ G)(0,x)=(0,0).
Como isso vale para qualquer (x,y), concluímos que
(F\circ G)^2=0,
ou seja, a composição ao quadrado é o operador zero.

Passo 5

Para terminar de caracterizar a nilpotência, é útil ver que (F\circ G) não é o operador zero já na primeira potência. Por exemplo,
(F\circ G)(1,0)=(0,1)\neq(0,0).
Logo (F\circ G)\neq0, mas (F\circ G)^2=0. Isso mostra que (F\circ G) é nilpotente e que o menor k com (F\circ G)^k=0 é k=2.

Resposta

F\circ G é nilpotente, pois (F\circ G)^2=0. O índice de nilpotência é 2.

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