Sejam
os operadores lineares dados por
e
. Mostre que o operador
é nilpotente.
Passo 1
O enunciado dá dois operadores lineares
definidos por
A pergunta é: mostrar que o operador
é nilpotente (isto é, existe um inteiro
tal que
é o operador zero).
Passo 2
Vamos lembrar direitinho o que significa “nilpotente” e o que é o operador zero:
onde
é o operador que envia todo vetor para o vetor nulo
. Aqui
significa a composição de
consigo mesmo
vezes. Nosso objetivo prático na prova é encontrar um
e provar que
manda todo
para
.
Passo 3
Calculemos explicitamente
. Por definição de composição,
Primeiro calculo
. Pelas hipóteses,
Agora aplico
a esse resultado:
Pela definição de
,
Portanto, para todo
,
Observe que isso coincide com a fórmula de
aplicada ao mesmo
; ou seja,
para todo
.
Passo 4
Agora vamos aplicar
duas vezes a um vetor genérico
. Usando o resultado do passo anterior,
Aplicando a fórmula
com
, obtemos
Como isso vale para qualquer
, concluímos que
ou seja, a composição ao quadrado é o operador zero.
Passo 5
Para terminar de caracterizar a nilpotência, é útil ver que
não é o operador zero já na primeira potência. Por exemplo,
Logo
, mas
. Isso mostra que
é nilpotente e que o menor
com
é
.