Pergunta explícita: as matrizes A e B são semelhantes (isto é, existe uma matriz invertível P tal que P^{-1}AP=B)?]
Passo 2
Definição e ideia que vamos usar (explicada devagar): dizemos que duas matrizes X e Y são semelhantes se existe uma matriz invertível P tal que
P^{-1} X P = Y.
Uma propriedade importante é que matrizes semelhantes têm o mesmo polinômio característico e os mesmos autovalores (com multiplicidades algébricas). Portanto um passo natural é calcular os polinômios característicos e autovalores de A e B e comparar. Se os autovalores coincidirem e as multiplicidades geométricas também se comportarem de forma compatível (no caso de autovalores distintos, isso já garante diagonalização), então podemos concluir similaridade e até construir explicitamente P.
Passo 3
Calculando o polinômio característico de A. O polinômio característico de uma matriz M é \det(M-\lambda I), onde \lambda é a variável. Para A temos:
Portanto B também tem os autovalores \lambda=0 e \lambda=1 (cada um com multiplicidade algébrica 1). Concluímos que os autovalores coincidem com multiplicidades algébricas iguais.
Passo 5
Comentário sobre multiplicidades geométricas e diagonalização (explicação didática): um autovalor \lambda tem multiplicidade geométrica igual à dimensão do espaço próprio \ker(M-\lambda I). Quando todos os autovalores de uma matriz 2\times2 são distintos (ou seja, dois autovalores diferentes), então os vetores próprios associados são linearmente independentes e a matriz é diagonalizável — isto significa que existe uma base formada por autovetores e, nessa base, a matriz é diagonal com os autovalores na diagonal. Aqui os autovalores de A são distintos (0 e 1), então A é diagonalizável e é similar a uma matriz diagonal com entradas 1 e 0 (ordem a escolher). Como B já é essa diagonal (com ordem (1,0) na diagonal), é muito plausível que A seja semelhante a B. Para finalizar precisamos encontrar os autovetores e construir explicitamente P.
Passo 6
Encontre um autovetor de A associado ao autovalor \lambda=1. Resolvemos (A-I)v=0:
Resolvendo o sistema -2x-2y=0 (a segunda equação é múltiplo da primeira), obtemos x=-y. Escolhemos y=1 para um autovetor simples, então um autovetor para \lambda=1 é
v_1=\begin{pmatrix}-1\\[4pt] 1\end{pmatrix}.
Verificação rápida: A v_1 = 1\cdot v_1.]
Passo 7
Encontre um autovetor de A associado ao autovalor \lambda=0. Resolvemos A v=0:
Verificação rápida: A v_2 = 0\cdot v_2=\mathbf{0}.]
Passo 8
Construa a matriz P cujas colunas são os autovetores na ordem correspondente à diagonal de B. Como B=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix} tem primeiro autovalor 1 e segundo 0, escolhemos v_1 como primeira coluna e v_2 como segunda coluna:
Mostre explicitamente que P^{-1}AP=B. Em vez de multiplicar tudo diretamente, use a propriedade de autovetores: A v_1 = 1\cdot v_1 e A v_2 = 0\cdot v_2. Então
A P = A\begin{pmatrix}v_1 & v_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}A v_1 & A v_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\cdot v_1 & 0\cdot v_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}v_1 & \mathbf{0}\end{pmatrix}.
Escrevendo isto em matrizes,
A P = \begin{pmatrix}-1 & 0\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Agora multiplica-se à esquerda por P^{-1}:
P^{-1} A P = \begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] -1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1 & 0\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Segunda coluna é o produto da mesma matriz com \mathbf{0}, que resulta em \mathbf{0}. Portanto
P^{-1} A P = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} = B.
Assim encontramos explicitamente P invertível que conjuga A em B.]
Passo 10
Conclusão final com interpretação amigável: construímos uma matriz P invertível cujas colunas são autovetores de A correspondentes, e verificamos que P^{-1}AP=B. Isso mostra que A e B representam a mesma transformação linear em bases diferentes — portanto são semelhantes.