Calcule a integral.
integral0^pi / 4 sec ^4 theta tg^4 theta d theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral0^pi/4sec^4thetatan^4theta,dtheta. Isso faz parte do conteúdo de integrais trigonométricas, em que vamos usar a identidade sec^2theta = 1 + tan^2theta e a substituição u = tantheta.

Passo 2

Reescrevemos o integrando aproveitando que sec^4thetatan^4theta = tan^4thetasec^2thetacdotsec^2theta.
Como sec^2theta,dtheta = d(tantheta) e usando sec^2theta = 1 + tan^2theta, temos tan^4thetasec^2theta = u^4(1+u^2). Os limites vão de u(0)=0 até u(pi/4)=1. Então a integral vira:
integral0^1u^4(1+u^2),du

Passo 3

Expandimos o integrando: u^4(1+u^2) = u^4 + u^6. Aí integramos termo a termo:
integrall(u^4 + u^6r),du = u^55 + u^77

Passo 4

Avaliamos nos limites de 0 a 1:
l(tfracu^55+tfracu^77r)|0^1 = 15 + 17

Resposta

12/35

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