Sejam
e
são campos de vetores em
e
é uma função diferenciável. Verifique as seguintes identidades. N.B. Se
, então definimos
.
;
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a identidade de cálculo vetorial
onde
e
é diferenciável.
Conteúdo usado: definição de rotacional (curl), gradiente e produto vetorial, e regra do produto para derivadas parciais.
Conteúdo usado: definição de rotacional (curl), gradiente e produto vetorial, e regra do produto para derivadas parciais.
Passo 2
Escrevemos
e lembramos que
Passo 3
Vamos calcular a primeira componente de
:
Agrupando termos:
Passo 4
Note que
é a primeira componente de
e
é a primeira componente de
.
Pelos mesmos passos (usando permutações cíclicas em ) obtemos as componentes 2 e 3, mostrando que em cada caso
e
Pelos mesmos passos (usando permutações cíclicas em
Passo 5
Como cada componente de
coincide com a soma das componentes correspondentes de
e de
, concluímos a identidade desejada.