Sejam F e G são campos de vetores em \mathbb{R}^{3} e f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} é uma função diferenciável. Verifique as seguintes identidades. N.B. Se F=\left(F_{1}, F_{2}, F_{3}\right), então definimos \triangle F=\left(\triangle F_{1}, \triangle F_{2}, \triangle F_{3}\right).
\operatorname{rot}(f F)=(\operatorname{grad} f) \times F+f \operatorname{rot} F);

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade de cálculo vetorial
\operatorname{rot}(f\,F) \;=\; (\operatorname{grad}f)\times F \;+\; f\,\operatorname{rot}F,
onde F=(F_{1},F_{2},F_{3}) e f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} é diferenciável.
Conteúdo usado: definição de rotacional (curl), gradiente e produto vetorial, e regra do produto para derivadas parciais.

Passo 2

Escrevemos
f\,F = (\,fF_{1},\,fF_{2},\,fF_{3}\,)
e lembramos que
\operatorname{rot}(V) =\Bigl(\frac{\partial V_{3}}{\partial y}-\frac{\partial V_{2}}{\partial z},\; \frac{\partial V_{1}}{\partial z}-\frac{\partial V_{3}}{\partial x},\; \frac{\partial V_{2}}{\partial x}-\frac{\partial V_{1}}{\partial y}\Bigr).

Passo 3

Vamos calcular a primeira componente de \operatorname{rot}(fF):
(\operatorname{rot}(fF))_{1} =\frac{\partial(fF_{3})}{\partial y} -\frac{\partial(fF_{2})}{\partial z} =\frac{\partial f}{\partial y}F_{3}+f\frac{\partial F_{3}}{\partial y} \;-\;\Bigl(\frac{\partial f}{\partial z}F_{2}+f\frac{\partial F_{2}}{\partial z}\Bigr).
Agrupando termos:
(\operatorname{rot}(fF))_{1} =\bigl(f_{y}F_{3}-f_{z}F_{2}\bigr) \;+\; f\,\bigl(F_{3,y}-F_{2,z}\bigr).

Passo 4

Note que
\,f_{y}F_{3}-f_{z}F_{2} é a primeira componente de (\operatorname{grad}f)\times F
e
\,F_{3,y}-F_{2,z} é a primeira componente de \operatorname{rot}F.
Pelos mesmos passos (usando permutações cíclicas em x,y,z) obtemos as componentes 2 e 3, mostrando que em cada caso
(\operatorname{rot}(fF))_{i} =(\bigl(\operatorname{grad}f)\times F\bigr)_{i} \;+\; f\,(\operatorname{rot}F)_{i}.

Passo 5

Como cada componente de \operatorname{rot}(fF) coincide com a soma das componentes correspondentes de (\operatorname{grad}f)\times F e de f\,\operatorname{rot}F, concluímos a identidade desejada.

Resposta

\operatorname{rot}(fF) =(\operatorname{grad}f)\times F \;+\; f\,\operatorname{rot}F.

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