Sejam f, g tais que lim x +infty f(x)=+infty e que lim x +infty g(x)=0. Quais das afirmações abaixo podemos afirmar com certeza:
lim x +infty f(x) g(x)=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta duas funções, $ f(x) $ e $ g(x) $, e nos diz que, quando $ x $ vai para mais infinito:
  • $ f(x) $ cresce sem parar, ou seja, $ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty $.
  • $ g(x) $ se aproxima de zero, ou seja, $ \lim_{x \to +\infty} g(x) = 0 $.
A pergunta é: podemos afirmar com certeza que o limite do produto dessas duas funções, $ f(x)g(x) $, também é zero?

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa quando dizemos que uma função tende a infinito ou a zero. Quando $ f(x) $ tende a $ +\infty $, ela está crescendo sem limites à medida que $ x $ aumenta. Já quando $ g(x) $ tende a zero, ela está diminuindo e se aproximando de zero.

Passo 3

Agora, o que acontece quando multiplicamos uma função que está crescendo sem parar ($ f(x) f(x) á g(x) $)? A resposta não é tão direta assim. Pode parecer que, já que $ g(x) $ está indo para zero, o produto também vai para zero. Mas não é sempre assim.

Passo 4

Vamos pensar em um exemplo: suponha que $ f(x) = x $ e $ g(x) = \frac{1}{x} $. Aqui, $ f(x) $ tende a $ +\infty $ e $ g(x) $ tende a 0. Multiplicando, temos $ f(x)g(x) = x \cdot \frac{1}{x} = 1 $. O limite desse produto, então, é 1, e não 0.

Passo 5

Esse exemplo mostra que, dependendo de como $ f(x) $ cresce e $ g(x) $ decresce, o limite do produto pode ser diferente de zero. Em alguns casos, pode até ser infinito ou outro valor.

Resposta

Não, não podemos afirmar com certeza que $ \lim_{x \to +\infty} f(x)g(x) = 0 $ com as informações dadas.

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