Sejam f, g: X R, a in X^prime, lim x a f(x)=L e lim x a g(x)=M. Se L>M, mostre que existe de0 tal que f(x)>g(x) para todo x in X com 0<|x-a|.

Passo 1

Temos as funções f,g:X→ℝ e um ponto a em X tal que limx→af(x)=L e limx→ag(x)=M, com L>M. O conteúdo aqui é definição de limite de função e como usar uma escolha adequada de ε para comparar valores de f e g perto de a.

Passo 2

Como L>M, considere ε=L-M2>0. Pela definição de limite de f, existe δ1>0 tal que para todo x em X com 0<|x-a|<δ1 vale
|f(x)-L|<ε
Isto implica
f(x)>L-ε = L-tfracL-M2 = tfracL+M2

Passo 3

De modo análogo, pela definição de limite de g, existe δ2>0 tal que para todo x em X com 0<|x-a|<δ2 vale
|g(x)-M|<ε
que dá
g(x)

Passo 4

Escolhendo δ=min(δ1,δ2), sempre que 0<|x-a|<δ temos simultaneamente
f(x)>g(x) e
,
logo nesse intervalo.

Passo 5

Portanto, mostramos que existe δ>0 tal que para todo x em X com 0<|x-a|<δ vale f(x)>g(x), como desejado.

Resposta

Bastará tomar δ=min(δ1,δ2); para esse δ>0 garantimos que f(x)>g(x) sempre que 0<|x-a|<δ.

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