Sejam
e
. Se
, mostre que existe
tal que
para todo
com
.
Passo 1
Temos as funções f,g:X→ℝ e um ponto a em X tal que
e
, com
. O conteúdo aqui é definição de limite de função e como usar uma escolha adequada de
para comparar valores de f e g perto de a.
Passo 2
Como
, considere
. Pela definição de limite de f, existe
tal que para todo x em X com
vale
Isto implica
Passo 3
De modo análogo, pela definição de limite de g, existe
tal que para todo x em X com
vale
que dá
Passo 4
Escolhendo
, sempre que
temos simultaneamente
e
,
logo nesse intervalo.
logo
Passo 5
Portanto, mostramos que existe
tal que para todo x em X com
vale
, como desejado.
Resposta
Bastará tomar
; para esse
garantimos que
sempre que
.