Sejam f, g: X \rightarrow \mathbb{R} contínuas. Se \bar{Y} \subset X e f(y)=g(y) para todo y \in Y, então f|\bar{Y}=g| \bar{Y}. Conclua que se duas funções contínuas f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} são tais que f(r)=g(r) para todo \mathrm{r} \in \mathbb{Q}, então \mathrm{f}=\mathrm{g}.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a conclusão correspondente.
Dados: f,g: X \to \mathbb{R} são funções contínuas.
Dados: Y \subset X e \overline{Y} \subset X (a chave é que Y tem sua aderência considerada em X).
Hipótese: f(y)=g(y) para todo y\in Y.
Pedido (parte geral): Mostrar que f|_{\overline{Y}} = g|_{\overline{Y}}, isto é, que f(x)=g(x) para todo x\in\overline{Y}.
Pedido (caso particular): Concluir que, se f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} são contínuas e f(r)=g(r) para todo r\in\mathbb{Q}, então f=g em \mathbb{R}.
Passo 2
Construir uma nova função que capture a diferença entre f e g. Defina
h := f-g.
Explicando com calma: h é a função que, em cada ponto x\in X, dá h(x)=f(x)-g(x). Quero usar h porque é mais simples trabalhar com uma única função que contém a informação “onde f e g diferem”.
Agora mostro que h é contínua. Razão: a soma, a subtração e a multiplicação por constantes preservam continuidade. Mais explicitamente, se f e g são contínuas então x\mapsto -g(x) é contínua (multiplicação por -1) e a soma de funções contínuas é contínua; assim h=f+(-g) é contínua. Outra maneira, equivalente e bem concreta: se x_n\to x em X, então f(x_n)\to f(x) e g(x_n)\to g(x) pela continuidade; então h(x_n)=f(x_n)-g(x_n)\to f(x)-g(x)=h(x). Isso mostra continuidade de h.
Passo 3
Usar a hipótese f(y)=g(y) para y\in Y. Em termos de h, isso diz que
h(y)=0\quad\text{para todo }y\in Y.
Queremos provar que h(x)=0 para todo x\in\overline{Y}. Então pegue um ponto arbitrário x\in\overline{Y}. Pela definição de aderência (em espaços métricos ou em espaços de primeira contagem), existe uma sequência (y_n)_{n\ge1} com y_n\in Y para todo n e tal que
y_n \to x.
(Se for necessário: em \mathbb{R} essa caracterização por sequências é padrão — pontos da aderência são limites de sequências do subconjunto.)
Agora aplique a continuidade de h à sequência (y_n). Como cada h(y_n)=0, temos
Detalhe didático: escrevendo passo a passo — primeiro, pela continuidade, \lim_{n\to\infty} h(y_n)=h(\lim_{n\to\infty} y_n)=h(x). Mas como h(y_n)=0 para todo n, a sequência h(y_n) é a sequência constante 0, cujo limite é 0. Logo h(x)=0.
Assim h(x)=0 para todo x\in\overline{Y}, ou seja, f(x)-g(x)=0 em \overline{Y}, portanto f(x)=g(x) em \overline{Y}. Isso prova a afirmação geral pedida.
Passo 4
Aplicar o resultado ao caso particular pedido. Tome X=\mathbb{R} e Y=\mathbb{Q}. É um fato bem conhecido (e fácil de ver, por exemplo aproximando um real por truncamentos decimais racionais) que
\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R},
ou seja, os racionais são densos em \mathbb{R}.
Pela parte geral, se f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} são contínuas e f(r)=g(r) para todo r\in\mathbb{Q}, então f=g em \overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}. Em outras palavras, f(x)=g(x) para todo x\in\mathbb{R}.
Passo 5
Comentário final rápido e encorajador: a ideia-chave é simples e útil em provas e em exames — funções contínuas que coincidem em um conjunto denso coincidem em toda a aderência desse conjunto. No caso clássico, bastou usar que os racionais são densos em \mathbb{R}.