Avalie a integral de linha
\int_{C} e^{z} d z
onde C é um contorno fechado ao longo da elipse
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1
percorrida no sentido anti-horário.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} e^{z}\,dz,
onde C é um contorno fechado que corresponde à elipse
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1
percorrida no sentido anti-horário.
  • Informações úteis extraídas do enunciado:
    • O contorno C é fechado (o ponto final coincide com o inicial).
    • A elipse pode ser parametrizada por uma função z(t) para t variando entre 0 e 2\pi de modo a percorrê-la no sentido anti-horário.
    • A função integranda é e^{z}.
O que precisa ser respondido: o valor numérico da integral de linha \displaystyle\int_{C} e^{z}\,dz.

Passo 2

Ideia básica usada na resolução (explicada bem devagar): se conseguimos encontrar uma função F(z) tal que F'(z)=e^{z} para todos os pontos por onde passa C, então a integral de e^{z} ao longo de qualquer caminho que comece em z_0 e termine em z_1 é F(z_1)-F(z_0). Esse é o análogo do Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha no contexto complexo. Vou explicar o que significa cada peça:
  • Uma função F é chamada primitiva (ou antiderivada) de f num domínio se F'(z)=f(z) para todo z desse domínio.
  • Se existe uma primitiva F definida num domínio que contém toda a curva C, então para qualquer caminho simples \gamma de a a b nesse domínio vale
\int_{\gamma} f(z)\,dz = F(b)-F(a).
  • No caso de um contorno fechado, o ponto final coincide com o inicial, logo F(b)-F(a)=0.
Portanto, se eu mostrar que e^{z} tem primitiva num domínio que contém a elipse C, a integral será zero. Agora vou mostrar que isso é verdade.

Passo 3

Mostrar que e^{z} tem primitiva e qual é essa primitiva.
  • A função exponencial complexa e^{z} pode ser definida pela série de potências
e^{z} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!},
que converge para todo z\in\mathbb{C}. Uma consequência direta é que e^{z} é diferenciável (na linguagem complexa: holomorfa) em todo o plano complexo — isto é, é derivável em todos os pontos. Além disso, a derivada dessa série termo a termo é
\frac{d}{dz} e^{z} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n z^{n-1}}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!} = e^{z}.
  • Assim, e^{z} é a sua própria derivada. Em particular, a função
F(z)=e^{z}
é primitiva de f(z)=e^{z} (porque F'(z)=e^{z} para todo z\in\mathbb{C}).
Como F está definida e é diferenciável em todo o plano complexo, ela está definida em qualquer região que contenha a elipse C. Portanto a condição para aplicar o resultado do passo anterior está satisfeita.

Passo 4

Aplicar o resultado ao contorno fechado C.
  • Pelo argumento do passo 2, para qualquer caminho \gamma com pontos inicial z_0 e final z_1 contidos no domínio de F vale
\int_{\gamma} e^{z}\,dz = F(z_1)-F(z_0) = e^{z_1}-e^{z_0}.
  • Como C é um contorno fechado, seu ponto inicial coincide com seu ponto final, digamos z_0=z_1. Portanto
\int_{C} e^{z}\,dz = e^{z_1}-e^{z_1}=0.
Esse é já um argumento completo e curto: e^{z} tem primitiva global e^{z}, logo integral sobre contorno fechado é zero.

Passo 5

Uma verificação alternativa (útil na hora da prova, caso queiram ver na prática): parametrização explícita da elipse e uso do Teorema Fundamental do Cálculo para integrais reais.
  • Parametrização da elipse percorrida no sentido anti-horário: escolha
z(t)=2\cos t + 3\,i\sin t,\qquad 0\le t\le 2\pi.
Essa parametrização corresponde à elipse \dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{9}=1 e, com t de 0 a 2\pi, percorre-a no sentido anti-horário.
  • A integral de linha fica
\int_{C} e^{z}\,dz = \int_{0}^{2\pi} e^{z(t)} z'(t)\,dt.
  • Calcule z'(t):
z'(t) = -2\sin t + 3\,i\cos t.
  • Observe que, pela regra da cadeia para derivadas reais, a derivada de e^{z(t)} em relação a t é
\frac{d}{dt} e^{z(t)} = e^{z(t)} z'(t).
Ou seja, o integrando e^{z(t)} z'(t) é exatamente a derivada de e^{z(t)}. Portanto
\int_{0}^{2\pi} e^{z(t)} z'(t)\,dt = \bigl[e^{z(t)}\bigr]_{0}^{2\pi} = e^{z(2\pi)}-e^{z(0)}.
  • Como \cos(2\pi)=\cos 0=1 e \sin(2\pi)=\sin 0=0, temos z(2\pi)=z(0). Logo e^{z(2\pi)}-e^{z(0)}=0.
Essa verificação via parametrização é a mesma ideia da primitiva, só que aplicada diretamente ao parâmetro real t. Dá a mesma conclusão: integral igual a zero.

Resposta

0

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