Avalie a integral de linha
onde
é um contorno fechado ao longo da elipse
percorrida no sentido anti-horário.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
- O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
é um contorno fechado que corresponde à elipse
percorrida no sentido anti-horário.
- Informações úteis extraídas do enunciado:
- O contorno
é fechado (o ponto final coincide com o inicial). - A elipse pode ser parametrizada por uma função
para variando entre e de modo a percorrê-la no sentido anti-horário. - A função integranda é
.
- O contorno
O que precisa ser respondido: o valor numérico da integral de linha
.
Passo 2
Ideia básica usada na resolução (explicada bem devagar): se conseguimos encontrar uma função
tal que
para todos os pontos por onde passa
, então a integral de
ao longo de qualquer caminho que comece em
e termine em
é
. Esse é o análogo do Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha no contexto complexo. Vou explicar o que significa cada peça:
- Uma função
é chamada primitiva (ou antiderivada) de num domínio se para todo desse domínio. - Se existe uma primitiva
definida num domínio que contém toda a curva , então para qualquer caminho simples de a nesse domínio vale
- No caso de um contorno fechado, o ponto final coincide com o inicial, logo
.
Portanto, se eu mostrar que
tem primitiva num domínio que contém a elipse
, a integral será zero. Agora vou mostrar que isso é verdade.
Passo 3
Mostrar que
tem primitiva e qual é essa primitiva.
- A função exponencial complexa
pode ser definida pela série de potências
que converge para todo
. Uma consequência direta é que
é diferenciável (na linguagem complexa: holomorfa) em todo o plano complexo — isto é, é derivável em todos os pontos. Além disso, a derivada dessa série termo a termo é
- Assim,
é a sua própria derivada. Em particular, a função
é primitiva de
(porque
para todo
).
Como
está definida e é diferenciável em todo o plano complexo, ela está definida em qualquer região que contenha a elipse
. Portanto a condição para aplicar o resultado do passo anterior está satisfeita.
Passo 4
Aplicar o resultado ao contorno fechado
.
- Pelo argumento do passo 2, para qualquer caminho
com pontos inicial e final contidos no domínio de vale
- Como
é um contorno fechado, seu ponto inicial coincide com seu ponto final, digamos . Portanto
Esse é já um argumento completo e curto:
tem primitiva global
, logo integral sobre contorno fechado é zero.
Passo 5
Uma verificação alternativa (útil na hora da prova, caso queiram ver na prática): parametrização explícita da elipse e uso do Teorema Fundamental do Cálculo para integrais reais.
- Parametrização da elipse percorrida no sentido anti-horário: escolha
Essa parametrização corresponde à elipse
e, com
de
a
, percorre-a no sentido anti-horário.
- A integral de linha fica
- Calcule
:
- Observe que, pela regra da cadeia para derivadas reais, a derivada de
em relação a é
Ou seja, o integrando
é exatamente a derivada de
. Portanto
- Como
e , temos . Logo .
Essa verificação via parametrização é a mesma ideia da primitiva, só que aplicada diretamente ao parâmetro real
. Dá a mesma conclusão: integral igual a zero.