Sejam f:(-pi2, pi2) R a função dada por f(x)=tg x e g: R (-pi2, pi2) sua inversa, ou seja, g(x)=arctg x. Calcule g^prime(x).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de g(x)=arctan x, que é a inversa de f(x)=tan x. Vamos usar conceito de derivada de função inversa.

Passo 2

Para uma função f invertível, vale a fórmula (f^-1)'(y)=1f'(f^-1(y)). Aqui g=f^-1.
Primeiro, derivamos f(x)=tan x. Sabemos que ddx(tan x)=sec^2 x, logo f'(x)=sec^2 x.

Passo 3

Aplicando a fórmula da inversa, temos g'(x)=1f'(g(x))=1sec^2(g(x))=cos^2l(g(x)r)

Passo 4

Agora escrevemos cos^2(arctan x) em termos de x. Seja theta=arctan x, então tantheta=x. Num triângulo retângulo com catetos de comprimentos x (oposto) e 1 (adjacente), a hipotenusa vale raiz1+x^2. Assim
costheta=1raiz1+x^2Longrightarrowcos^2theta=11+x^2

Passo 5

Portanto concluímos que a derivada de g(x)=arctan x é…

Resposta

g'(x)=11+x^2

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