Seja f:[0, pi] [-1,1] a função dada por f(x)=cos x. Uma vez que f é injetora e sobrejetora, f admite uma inversa, a saber g:[-1,1] [0, pi] dada por g(x)=arccos x. Calcule g^prime(x). Dica: basta lembrar que cos (arccos x)=x, para todo x in[-1,1].

Passo 1

O enunciado diz que temos f:[0,π]→[−1,1] dada por f(x)=cos x, invertível, e sua inversa g(x)=arccos x. O conteúdo é cálculo de derivada da inversa de uma função usando a regra da cadeia e a relação cos(arccos x)=x.

Passo 2

Começamos diferenciando a identidade
cos(arccos(x))=x
em relação a x. Aplicando a regra da cadeia, temos
-sin(arccos(x))cdot g'(x)=1
pois a derivada de cos(u) em relação a u é -sin(u) e u=arccos(x).

Passo 3

Isolando g’(x), obtemos
g'(x)=1-sin(arccos(x))=-1sin(arccos(x)) .

Passo 4

Para simplificar sin(arccos(x)), usemos a identidade pitagórica num triângulo retângulo em que o ângulo é θ=arccos(x). Então cos(θ)=x e sin(θ)=\sqrt{1-x^2} (positivo pois θ∈[0,π]). Assim
g'(x)=-1raiz1-x^2

Resposta

g’(x) = -\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}

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