Seja
a função dada por
. Uma vez que
é injetora e sobrejetora,
admite uma inversa, a saber
dada por
. Calcule
. Dica: basta lembrar que
, para todo
.
Passo 1
O enunciado diz que temos f:[0,π]→[−1,1] dada por f(x)=cos x, invertível, e sua inversa g(x)=arccos x. O conteúdo é cálculo de derivada da inversa de uma função usando a regra da cadeia e a relação cos(arccos x)=x.
Passo 2
Começamos diferenciando a identidade
em relação a x. Aplicando a regra da cadeia, temos
pois a derivada de cos(u) em relação a u é -sin(u) e u=arccos(x).
Passo 3
Isolando g’(x), obtemos
Passo 4
Para simplificar
, usemos a identidade pitagórica num triângulo retângulo em que o ângulo é θ=arccos(x). Então cos(θ)=x e sin(θ)=\sqrt{1-x^2} (positivo pois θ∈[0,π]). Assim
Resposta
g’(x) = -\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}