Utilize derivação implícita para derivar as funções trigonométricas inversas.
(a) f(x)=arcsen x
(b) f(x)=arccotg x
© f(x)=arcsec x
(d) f(x)=arccossec x

Passo 1

O exercício pede a derivação, usando derivação implícita, das funções inversas trigonométricas , , e . Vamos empregar a estratégia de definir arcsen x, escrever a relação inversa arccotg xçã, diferenciar em relação a arcsec x e usar identidades trigonométricas para expressar arccossec x em termos de y=f(x).

Passo 2

Para , seja . Então f(x)=arcsen x. Diferenciando:
y=arcsen x
Logo
x=sin y
Como 1=cos y,dydx concluímos
dydx=1cos y

Passo 3

Para , seja . Então . Diferenciando:

Logo
Como temos
f(x)=arccotg x

Passo 4

Para , seja . Então f(x)=arcsec x. Diferenciando:

Logo
Como y=arcsec x e , segue (para x=sec y). Assim
1=sec ytg y,dydx
e, incluindo o valor absoluto em dydx=1sec ytg y:
sec y=x

Passo 5

Para , seja . Então . Diferenciando:

Logo
Como e , segue f(x)=arccossec x (para y=arccossec x). Assim
x=cosec y
e incluindo o valor absoluto em 1=-cosec ycot y,dydx:
dydx=-1cosec ycot y

Resposta

(a) f′(x)=1/\sqrt{1−x^2}
(b) f′(x)=−1/(1+x^2)
© f′(x)=1/(|x|\sqrt{x^2−1}), |x|>1
(d) f′(x)=−1/(|x|\sqrt{x^2−1}), |x|>1

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