Utilize derivação implícita para derivar as funções trigonométricas inversas.
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
O exercício pede a derivação, usando derivação implícita, das funções inversas trigonométricas , , e . Vamos empregar a estratégia de definir
, escrever a relação inversa
, diferenciar em relação a
e usar identidades trigonométricas para expressar
em termos de
.
Passo 2
Para , seja . Então
. Diferenciando:
Logo
Como
concluímos
Passo 3
Para , seja . Então . Diferenciando:
Logo
Como temos
Passo 4
Para , seja . Então
. Diferenciando:
Logo
Como
e , segue (para
). Assim
e, incluindo o valor absoluto em
Passo 5
Para , seja . Então . Diferenciando:
Logo
Como e , segue
(para
). Assim
e incluindo o valor absoluto em
Resposta
(a) f′(x)=1/\sqrt{1−x^2}
(b) f′(x)=−1/(1+x^2)
© f′(x)=1/(|x|\sqrt{x^2−1}), |x|>1
(d) f′(x)=−1/(|x|\sqrt{x^2−1}), |x|>1
(b) f′(x)=−1/(1+x^2)
© f′(x)=1/(|x|\sqrt{x^2−1}), |x|>1
(d) f′(x)=−1/(|x|\sqrt{x^2−1}), |x|>1