Sejam f: R^2 R uma função de classe C^2 e(x0, y0) in R^2 um ponto crítico de f. Denote por A in M2(R) a matriz hessiana de f em (x0, y0). Considere as seguintes afirmações:
I) A é simétrica, isto é, A é igual à sua transposta.
II) Se det A>0, então (x0, y0) é um ponto de sela.
III) É possível que det A=0 e (x0, y0) seja um ponto de máximo local.
São verdadeiras, apenas:
II) e III)
B Todas.
C II) e III)
D I) e II)
E I)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função $ f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} $ que é duas vezes diferenciável ($ C^{2} $) e um ponto crítico $ (x_{0}, y_{0}) $. A matriz hessiana $ A $ dessa função nesse ponto é dada. Precisamos analisar três afirmações sobre essa matriz hessiana para determinar quais são verdadeiras. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente relacionados a derivadas parciais e classificações de pontos críticos.

Passo 2

Afirmação I: “A matriz hessiana $ A $ é simétrica, ou seja, $ A $ é igual à sua transposta.”
Explicação: A matriz hessiana de uma função duas vezes diferenciável é composta pelas segundas derivadas parciais misturadas e puras. Pelo Teorema de Schwarz, se as derivadas parciais de segunda ordem são contínuas, então as derivadas mistas são iguais, ou seja, $ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} $. Isso faz com que a matriz hessiana seja simétrica.
Conclusão: A afirmação I é verdadeira.

Passo 3

Afirmação II: “Se $ \det A > 0 $, então $ (x_{0}, y_{0}) $ é um ponto de sela.”
Explicação: A determinação do tipo de ponto crítico usando a hessiana envolve analisar o determinante $ \det A $ e os sinais das derivadas segundas. Se $ \det A > 0 $ e a segunda derivada $ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} > 0 $, o ponto é um mínimo local; se $ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} < 0 $, é um máximo local. Quando $ \det A < 0 $, o ponto é um ponto de sela. Portanto, se $ \det A > 0 $, não é necessariamente um ponto de sela; na verdade, indica que não é.
Conclusão: A afirmação II é falsa.

Passo 4

Afirmação III: “É possível que $ \det A = 0 $ e $ (x_{0}, y_{0}) $ seja um ponto de máximo local.”
Explicação: Quando $ \det A = 0 $, a matriz hessiana é singular, e os testes convencionais não são conclusivos para classificar o ponto crítico. Nesse caso, pode-se ter situações onde o ponto crítico é um máximo local, um mínimo local ou ainda um ponto de sela, dependendo de análises adicionais ou de termos de maior ordem na expansão de Taylor da função.
Conclusão: A afirmação III é verdadeira.

Resposta

As afirmações I) e III) são verdadeiras.

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