Um trabalhador da construção civil começa o trabalho as 8 horas da manhã, e x horas depois realizou uma dada tarefa em f(x) unidades, onde
f(x)=4 x+9 x^2-x^3 0 <= x <= 5
Determine em que momento o trabalhador está fazendo sua tarefa mais eficiente, isto é, quando o trabalhador atinge o ponto de rendimento decrescente.

Passo 1

O problema dá a produção acumulada do trabalhador em função do tempo desde as 8h, dada por
f(x)=4x+9x^2 - x^3,
e pede o instante em que começa o rendimento decrescente, ou seja, o ponto de inflexão da produção marginal.

Passo 2

Para entender rendimento decrescente, usamos derivadas: a derivada primeira f'(x) é a produção marginal (quanto produz a mais por hora) e a derivada segunda f''(x) indica se essa margem está aumentando ou diminuindo. Vamos calcular ambas.

Passo 3

Calculando a derivada primeira:
f'(x)=ddxl(4x+9x^2 - x^3r)=4+18x-3x^2
Em seguida, a derivada segunda:
f''(x)=ddxl(4+18x-3x^2r)=18-6x

Passo 4

Para achar o ponto de inflexão, igualamos f''(x)=0:
18-6x=0
Logo,
6x=18Rightarrow x=3 horas
Verificamos que para x<3, f''(x)>0 (concavidade para cima, marginal crescente) e para x>3, f''(x)<0 (concavidade para baixo, marginal decrescente). Portanto, em x=3 horas inicia o rendimento decrescente.

Passo 5

Convertendo para o horário, como o trabalho iniciou às 8h, o instante é
8h + 3h = 11h

Resposta

O trabalhador atinge o ponto de rendimento decrescente 3 horas após o início, ou seja, às 11 horas.

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