Um trabalhador da construção civil começa o trabalho as 8 horas da manhã, e
horas depois realizou uma dada tarefa em
unidades, onde
Determine em que momento o trabalhador está fazendo sua tarefa mais eficiente, isto é, quando o trabalhador atinge o ponto de rendimento decrescente.
Passo 1
O problema dá a produção acumulada do trabalhador em função do tempo desde as 8h, dada por
e pede o instante em que começa o rendimento decrescente, ou seja, o ponto de inflexão da produção marginal.
Passo 2
Para entender rendimento decrescente, usamos derivadas: a derivada primeira
é a produção marginal (quanto produz a mais por hora) e a derivada segunda
indica se essa margem está aumentando ou diminuindo. Vamos calcular ambas.
Passo 3
Calculando a derivada primeira:
Em seguida, a derivada segunda:
Passo 4
Para achar o ponto de inflexão, igualamos
:
Logo,
Verificamos que para
,
(concavidade para cima, marginal crescente) e para
,
(concavidade para baixo, marginal decrescente). Portanto, em
horas inicia o rendimento decrescente.
Passo 5
Convertendo para o horário, como o trabalho iniciou às 8h, o instante é
Resposta
O trabalhador atinge o ponto de rendimento decrescente 3 horas após o início, ou seja, às 11 horas.