Sejam
e
campos (sendo o primeiro vetorial e o segundo escalar respectivamente) e ambos com derivadas parciais continuas de qualquer ordem. Então, uma das seguintes afirmações é verdadeira:
a. Se
então
é solenoidal.
b. Nenhuma das outras alternativas.
c. Se
então
.
d. Se
então
é solenoidal.
e. Se
então
é irrotacional.
a. Se
b. Nenhuma das outras alternativas.
c. Se
d. Se
e. Se
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas funções:
-
, que é um campo vetorial. -
, que é um campo escalar.
Ambas possuem derivadas parciais contínuas de qualquer ordem. A questão apresenta várias afirmações sobre
e
, e precisamos identificar qual delas é verdadeira. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como gradiente (
), divergente (
), rotacional (
) e propriedades de campos solenoides e irrotacionais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender cada uma das opções:
a. Se
então
é solenoidal.
Um campo vetorial
é solenoidal se sua divergente é zero, ou seja,
. Se
é o gradiente de alguma função escalar
, então
, onde
é o laplaciano. Não há garantia de que
, a menos que
seja harmônico. Portanto, essa afirmação nem sempre é verdadeira.
b. Nenhuma das outras alternativas.
Vamos verificar as outras opções antes de considerar esta.
c. Se
então
.
Sabemos que o rotacional do gradiente de qualquer função escalar é sempre zero, ou seja,
. Portanto, se
, isso não implica necessariamente que
, apenas que
é irrotacional. Existem outros campos irrotacionais que não são gradientes de funções escalares.
d. Se
então
é solenoidal.
Sabemos que
é um campo vetorial, e a divergente de qualquer rotacional é sempre zero, ou seja,
. Por outro lado,
. A igualdade
só ocorre se
for harmônico, o que não é garantido. Além disso, isso não implica diretamente que
seja solenoidal.
e. Se
então
é irrotacional.
Aqui, se
, mas por definição, um campo é irrotacional se
. Porém, na afirmação,
é igual a
, que não necessariamente é zero. Portanto, essa afirmação está incorreta.
Resposta
A alternativa correta é b. Nenhuma das outras alternativas.