Sejam F: R^3 R^3 e g: R^3 R campos (sendo o primeiro vetorial e o segundo escalar respectivamente) e ambos com derivadas parciais continuas de qualquer ordem. Então, uma das seguintes afirmações é verdadeira:
a. Se F=nabla g então F é solenoidal.
b. Nenhuma das outras alternativas.
c. Se Rot(F)=Rot(nabla g) então F=nabla g.
d. Se div(Rot(F))=div(nabla g) então F é solenoidal.
e. Se Rot(F)=nabla g então F é irrotacional.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas funções:
  • , que é um campo vetorial.
  • , que é um campo escalar.
Ambas possuem derivadas parciais contínuas de qualquer ordem. A questão apresenta várias afirmações sobre e , e precisamos identificar qual delas é verdadeira. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como gradiente ( ), divergente ( ), rotacional ( ) e propriedades de campos solenoides e irrotacionais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender cada uma das opções:
a. Se então é solenoidal.
Um campo vetorial é solenoidal se sua divergente é zero, ou seja, . Se é o gradiente de alguma função escalar , então , onde é o laplaciano. Não há garantia de que , a menos que seja harmônico. Portanto, essa afirmação nem sempre é verdadeira.
b. Nenhuma das outras alternativas.
Vamos verificar as outras opções antes de considerar esta.
c. Se então .
Sabemos que o rotacional do gradiente de qualquer função escalar é sempre zero, ou seja, . Portanto, se , isso não implica necessariamente que , apenas que é irrotacional. Existem outros campos irrotacionais que não são gradientes de funções escalares.
d. Se então é solenoidal.
Sabemos que é um campo vetorial, e a divergente de qualquer rotacional é sempre zero, ou seja, . Por outro lado, . A igualdade só ocorre se for harmônico, o que não é garantido. Além disso, isso não implica diretamente que seja solenoidal.
e. Se então é irrotacional.
Aqui, se , mas por definição, um campo é irrotacional se . Porém, na afirmação, é igual a , que não necessariamente é zero. Portanto, essa afirmação está incorreta.

Resposta

A alternativa correta é b. Nenhuma das outras alternativas.

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