Considere a superfície composta pelo campo escalar
e limitada pelo plano
. A única afirmação verdadeira entre as seguintes é:
O comprimento da fronteira da superfície é menor que 3 unidades de comprimento.
O comprimento da fronteira da superfície é menor que 3 unidades de comprimento.
Passo 1
Então, temos um exercício que fala sobre uma superfície definida pela função
e que é limitada pelo plano
. O que a gente precisa descobrir aqui é se o comprimento da borda dessa superfície é menor que 3 unidades. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente os relacionados a superfícies e curvas no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície dada pela função
. Essa função descreve um paraboloide elíptico, que é uma superfície curva que se abre para cima ou para baixo dependendo do sinal dos termos.
Passo 3
Como a superfície é limitada pelo plano
, isso significa que estamos considerando apenas a parte do paraboloide que está abaixo desse plano. Para encontrar a borda dessa superfície, precisamos descobrir a curva onde o paraboloide e o plano se encontram.
Passo 4
Vamos igualar
ao valor de
no plano de limitação:
Resolvendo essa equação para
, temos:
Essa é a equação de um círculo no plano
com raio
.
Passo 5
O próximo passo é calcular o comprimento dessa borda, que é a circunferência do círculo. A fórmula para o comprimento de uma circunferência é:
Onde
é o raio. Substituindo
:
Passo 6
Agora, comparamos esse comprimento com 3 unidades. Claramente,
é muito maior que 3. Portanto, a afirmação de que o comprimento da fronteira da superfície é menor que 3 unidades está incorreta.
Resposta
A afirmação é falsa; o comprimento da fronteira da superfície é maior que 3 unidades.