Considere a superfície composta pelo campo escalar f(x, y)=x^2+y^2-1 e limitada pelo plano z=9. A única afirmação verdadeira entre as seguintes é:
O comprimento da fronteira da superfície é menor que 3 unidades de comprimento.

Passo 1

Então, temos um exercício que fala sobre uma superfície definida pela função e que é limitada pelo plano . O que a gente precisa descobrir aqui é se o comprimento da borda dessa superfície é menor que 3 unidades. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente os relacionados a superfícies e curvas no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície dada pela função . Essa função descreve um paraboloide elíptico, que é uma superfície curva que se abre para cima ou para baixo dependendo do sinal dos termos.

Passo 3

Como a superfície é limitada pelo plano , isso significa que estamos considerando apenas a parte do paraboloide que está abaixo desse plano. Para encontrar a borda dessa superfície, precisamos descobrir a curva onde o paraboloide e o plano se encontram.

Passo 4

Vamos igualar x^2 + y^2 - 1 = 9 ao valor de x^2 + y^2 = 10 no plano de limitação:
Resolvendo essa equação para , temos:
Essa é a equação de um círculo no plano com raio .

Passo 5

O próximo passo é calcular o comprimento dessa borda, que é a circunferência do círculo. A fórmula para o comprimento de uma circunferência é:
C = 2pi r
Onde C = 2pi raiz10 approx 2 times 3,1416 times 3,1623 approx 19,869 é o raio. Substituindo :

Passo 6

Agora, comparamos esse comprimento com 3 unidades. Claramente, é muito maior que 3. Portanto, a afirmação de que o comprimento da fronteira da superfície é menor que 3 unidades está incorreta.

Resposta

A afirmação é falsa; o comprimento da fronteira da superfície é maior que 3 unidades.

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