Mostre que a função f determinada pelo n-ésimo termo da série satisfaz a hipótese do teste da integral, e use o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge:
sumn=1^infty nn^2+1

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da integral na série sumn=1^infty nn^2+1. O tema é o teste da integral, que exige definir uma função f(x) contínua, positiva e decrescente para x>=1, mostrar essas propriedades e então comparar a soma à integral imprópria integral1^infty f(x),dx.

Passo 2

Definimos a função f(x) = xx^2+1 para x>=1. Essa função é positiva e contínua em [1,infty) porque o denominador nunca se anula.

Passo 3

Para mostrar que f(x) é decrescente, calculamos a derivada:
f'(x)=(x^2+1)cdot1 - xcdot2x(x^2+1)^2=1-x^2(x^2+1)^2
Como para x>1 temos 1-x^2<0 e o denominador é sempre positivo, segue que f'(x)<0 em [1,infty), logo f é decrescente.

Passo 4

Agora aplicamos a integral imprópria:
integral1^inftyxx^2+1,dx =limRtoinftyintegral1^Rxx^2+1,dx
Fazendo a substituição u=x^2+1, temos du=2x,dx e x,dx=du/2. Assim
integral1^Rxx^2+1,dx =12integralu(1)^u(R)duu =12l[ln(u)r]u=2^u=R^2+1 =12l(ln(R^2+1)-ln2r)
Quando Rtoinfty, ln(R^2+1)toinfty, então a integral diverge.

Passo 5

Pelo teste da integral, como a integral imprópria de f(x) diverge, a série sumn=1^inftyf(n) também diverge.

Resposta

A série diverge.

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