Mostre que a função
determinada pelo n-ésimo termo da série satisfaz a hipótese do teste da integral, e use o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge:
Passo 1
O enunciado pede para usar o teste da integral na série
. O tema é o teste da integral, que exige definir uma função
contínua, positiva e decrescente para
, mostrar essas propriedades e então comparar a soma à integral imprópria
.
Passo 2
Definimos a função
para
. Essa função é positiva e contínua em
porque o denominador nunca se anula.
Passo 3
Para mostrar que
é decrescente, calculamos a derivada:
Como para
temos
e o denominador é sempre positivo, segue que
em
, logo
é decrescente.
Passo 4
Agora aplicamos a integral imprópria:
Fazendo a substituição
, temos
e
. Assim
Quando
,
, então a integral diverge.
Passo 5
Pelo teste da integral, como a integral imprópria de
diverge, a série
também diverge.
Resposta
A série diverge.