Sejam F: R^3 R^2 e G: R^2 R^2 por F(x, y, z)=(2 x, y+z) e G(x, y)=(y, x). Determine, a partir da forma matricial canônica, as leis de formação que definam as transformações lineares:
G circ F

Passo 1

O enunciado pede a composição Gcirc F:R^3toR^2 usando a forma matricial canônica. Vamos obter primeiro as matrizes de F e G nas bases canônicas, depois multiplicá-las para achar a matriz de Gcirc F e, por fim, extrair a lei de formação.

Passo 2

A transformação FcolonR^3toR^2 está dada por
F(x,y,z) = (2x,;y+z)
Na base canônica de R^3 e R^2, sua matriz é
[F] ;=; 2 & 0 & 0 0 & 1 & 1 ,
pois a primeira coordenada é 2x+0y+0z e a segunda é 0x+1y+1z.

Passo 3

A transformação GcolonR^2toR^2 é
G(u,v) = (v,u)
Na base canônica de R^2, sua matriz é
[G] ;=; 0 & 1 1 & 0 ,
já que G(u,v) troca as duas coordenadas.

Passo 4

A matriz da composição Gcirc F é o produto
[Gcirc F] ;=; [G],[F] ;=; 0 & 1 1 & 0 2 & 0 & 0 0 & 1 & 1 ;=; 0cdot2+1cdot0 & 0cdot0+1cdot1 & 0cdot0+1cdot1 1cdot2+0cdot0 & 1cdot0+0cdot1 & 1cdot0+0cdot1 ;=; 0 & 1 & 1 2 & 0 & 0

Passo 5

A partir de [Gcirc F], a lei de formação é
(Gcirc F)(x,y,z) = l(0cdot x + 1cdot y + 1cdot z,;2cdot x + 0cdot y + 0cdot zr) = (y+z,;2x)

Resposta

(Gcirc F)(x,y,z) = (y+z,;2x)

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