Sejam F: R^3 R^2 e G: R^3 R^2 definidas por F(x, y, z)=(y, x+z) e G(x, y, z)=(2 z, x-y).
Encontre as fórmulas que definem as transformações F+G e 3 F-2 G.

Passo 1

O enunciado define duas transformações lineares
Fcolon R^3to R^2, F(x,y,z)=(y,;x+z)
Gcolon R^3to R^2, G(x,y,z)=(2z,;x-y)
e pede as fórmulas de F+G e de 3F-2G. Para isso vamos usar o fato de que adição e multiplicação por escalar em R^2 operam componente a componente.

Passo 2

Calculando (F+G)(x,y,z) temos
(F+G)(x,y,z)=F(x,y,z)+G(x,y,z)=(y,;x+z)+(2z,;x-y)
e somando componente a componente obtemos
(F+G)(x,y,z)=(y+2z,;(x+z)+(x-y))=(y+2z,;2x+z-y)

Passo 3

Calculando (3F-2G)(x,y,z) primeiro fazemos
3F(x,y,z)=3,(y,;x+z)=(3y,;3x+3z),
2G(x,y,z)=2,(2z,;x-y)=(4z,;2x-2y)
Agora subtraímos componente a componente:
(3F-2G)(x,y,z)=(3y-4z,;(3x+3z)-(2x-2y))=(3y-4z,;x+2y+3z)

Resposta

(F+G)(x,y,z)=(y+2z,;2x+z-y),
(3F-2G)(x,y,z)=(3y-4z,;x+2y+3z)

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