Sejam f: R longrightarrow R e g: R longrightarrow R duas funções tais que |f(x)| <= g(x) para todo x in R. Suponha ainda que onde g é uma função positiva, isto é, g(x)>0 para todo x in R. Determine lim x 0 f(x)g(x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxto0 f(x)g(x), sabendo que as funções satisfazem |f(x)|<= g(x) para todo xin R e que g(x)>0 em toda parte. Vamos usar o Teorema do Confronto.

Passo 2

Pela desigualdade dada temos
-g(x) <= f(x) <= g(x)

Passo 3

Como g(x)>0, podemos dividir toda essa desigualdade por g(x) sem inverter os sinais, obtendo
-1 <= f(x)g(x) <= 1

Passo 4

Agora aplicamos o limite xto0 aos três termos. Como -1 e 1 são constantes, seus limites continuam -1 e 1. Pelo Teorema do Confronto, o limite de f(x)/g(x) ficará “espremido” entre esses valores.

Passo 5

Concluímos que o limite existe e satisfaz
-1 <= limxto0 f(x)g(x) <= 1

Resposta

-1 <= limxto0 f(x)g(x) <= 1

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