Sejam f: A \rightarrow B e g: B \rightarrow C funções. Prove que:
Se f e g são sobrejetoras, então a composta g \circ f também é sobrejetora.
Se f e g são injetoras, então a composta g \circ f também é injetora.

Passo 1

O enunciado dá duas funções
f\colon A \to B,\qquad g\colon B \to C
e pede para provar duas propriedades da composta g\circ f:
  1. Se f e g são sobrejetoras, então g\circ f é sobrejetora.
  2. Se f e g são injetoras, então g\circ f é injetora.
    Vamos usar as definições:
    h é sobrejetora se, para todo y no contradomínio de h, existe x no domínio de h tal que h(x)=y.
    h é injetora se, sempre que h(x)=h(x'), então x=x'.

Passo 2

Prova de que g\circ f é sobrejetora quando f e g são sobrejetoras.
Seja z\in C qualquer.
Como g é sobrejetora, existe b\in B tal que
g(b)=z.
Como f é sobrejetora, existe a\in A tal que
f(a)=b.
Logo
(g\circ f)(a)=g\bigl(f(a)\bigr)=g(b)=z,
o que mostra que, dado z\in C, encontramos a\in A com (g\circ f)(a)=z. Portanto g\circ f é sobrejetora.

Passo 3

Prova de que g\circ f é injetora quando f e g são injetoras.
Suponha a,a'\in A tais que
(g\circ f)(a)=(g\circ f)(a').
Então
g\bigl(f(a)\bigr)=g\bigl(f(a')\bigr).
Como g é injetora, segue-se
f(a)=f(a').
E como f é injetora, disso decorre
a=a'.
Portanto, sempre que (g\circ f)(a)=(g\circ f)(a') temos a=a', isto é, g\circ f é injetora.

Resposta

Mostramos que:
(a) Se f e g são sobrejetoras, então g\circ f é sobrejetora.
(b) Se f e g são injetoras, então g\circ f é injetora.

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