(a) Prove que se f é contínua em [a, b], então existe uma função g que é contínua em R e que satisfaz g(x)=f(x) para todo x em [a, b].
Dica: Já que você obviamente tem muita escolha, tente tornar g constante em (-infty, a] e [b, infty).
(b) Dê um exemplo para mostrar que esta afirmação é falsa se [a, b] for substituído por (a, b).

Passo 1

O enunciado pede que, dada uma função contínua f em um intervalo fechado [a,b], construamos uma extensão g contínua em toda ℝ que coincida com f em [a,b]. Em seguida, mostrarmos que, se trocarmos [a,b] por um intervalo aberto (a,b), nem sempre existe tal extensão.

Passo 2

Para (a), definimos g de forma simples em três regiões: em x≤a, tomamos g(x)=f(a); em x∈[a,b], g(x)=f(x); em x≥b, g(x)=f(b). Assim criamos g:ℝ→ℝ que estende f.
Mostramos continuidade de g em cada parte: em x<a g é constante igual a f(a), logo contínua; em x>b idem; em x∈(a,b) g coincide com f, que é contínua. Faltam os pontos a e b: como f é contínua em a, temos lim_{x→a⁻}g(x)=f(a)=g(a) e lim_{x→a⁺}g(x)=f(a)=g(a), então g é contínua em a. Analogamente em b.
Concluímos que g é contínua em toda ℝ e coincide com f em [a,b], provando (a).

Passo 3

Para (b), basta dar um exemplo de f contínua em (a,b) que não admite extensão contínua a ℝ. Por exemplo, em (0,1) defina f(x)=1/x. Essa função explode quando x→0⁺, de modo que não há como definir g em 0 de forma a manter a continuidade. Portanto, nenhum g contínua em ℝ coincide com 1/x em (0,1).

Resposta

(a) Uma extensão válida é
g(x)= f(a),&x<= a, f(x),&a<= x<= b, f(b),&x>= b
Essa g coincide com f em [a,b] e é contínua em ℝ. (b) Por exemplo, f:(0,1)→ℝ dada por f(x)=1/x não admite nenhuma extensão contínua em ℝ que coincida com f em (0,1).

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