Prove que toda função f contínua pode ser escrita f=g-h, onde g e h são não negativas e contínuas.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dada qualquer função contínua fcolon X to R, podemos escrevê-la como diferença de duas funções contínuas e não negativas. O conteúdo principal aqui é usar que soma, diferença e composição de funções contínuas continuam sendo contínuas, e que a função valor absoluto é contínua.

Passo 2

A primeira ideia é notar que a função valor absoluto a mapsto |a| é contínua em R. Como f é contínua, a composição |f|colon X to R também é contínua.

Passo 3

Com isso em mãos, definimos as funções g e h por meio de combinações lineares de f e |f|. Mais precisamente,
$$
g(x)=\frac{f(x)+|f(x)|}{2},\quad h(x)=\frac{|f(x)|-f(x)}{2}.$$

Passo 4

Agora vamos checar que g e h são não negativas. Para cada x, temos |f(x)|>= f(x) e |f(x)|>= -f(x). Logo
g(x)=f(x)+|f(x)|2>=0, h(x)=|f(x)|-f(x)2>=0

Resposta

As funções
g(x)=f(x)+|f(x)|2, h(x)=|f(x)|-f(x)2
são contínuas, não negativas e satisfazem f=g-h. Portanto toda função contínua pode ser escrita nessa forma.

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