Prove que toda função
contínua pode ser escrita
, onde
e
são não negativas e contínuas.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dada qualquer função contínua
, podemos escrevê-la como diferença de duas funções contínuas e não negativas. O conteúdo principal aqui é usar que soma, diferença e composição de funções contínuas continuam sendo contínuas, e que a função valor absoluto é contínua.
Passo 2
A primeira ideia é notar que a função valor absoluto
é contínua em
. Como
é contínua, a composição
também é contínua.
Passo 3
Com isso em mãos, definimos as funções
e
por meio de combinações lineares de
e
. Mais precisamente,
$$
g(x)=\frac{f(x)+|f(x)|}{2},\quad h(x)=\frac{|f(x)|-f(x)}{2}.$$
Passo 4
Agora vamos checar que
e
são não negativas. Para cada
, temos
e
. Logo
Resposta
As funções
são contínuas, não negativas e satisfazem
. Portanto toda função contínua pode ser escrita nessa forma.