(2.00p) Dada a série alternada
(a) Obtenha uma fórmula para o termo n-ésimo,
.
(b) Estude a convergência ou divergência da série.
(b) Estude a convergência ou divergência da série.
Passo 1
O enunciado apresenta a série alternada
O conteúdo aqui é séries numéricas, em especial séries alternadas e teste de Leibniz. Vamos precisar escrever o termo geral, aplicar o critério de Leibniz e também verificar a convergência absoluta via p-série.
Passo 2
Para obter o termo geral, note que o sinal alterna a cada termo e os radicais são de
. Assim podemos escrever
Aqui, quando
isso dá
, para
dá
, e assim por diante.
Passo 3
Para estudar a convergência, usamos o critério de Leibniz. Definimos a sequência positiva
Observamos que:
-
para todo . -
, ou seja, é monótona decrescente. -
, pois .
Pelos critérios de Leibniz, esses três pontos garantem que a série alternada converge.
Passo 4
Para verificar a convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos:
Como isso é uma p-série com
, ela diverge. Logo, a série original é convergente, mas não absolutamente convergente (convergência condicional).
Resposta
(a)
.
(b) A série é convergente pelo critério de Leibniz, mas a série dos valores absolutos diverge (p-série com ), logo a convergência é condicional.
(b) A série é convergente pelo critério de Leibniz, mas a série dos valores absolutos diverge (p-série com