(2.00p) Dada a série alternada
1raiz2-1raiz3+1raiz4-1raiz5+1raiz6-ldots
(a) Obtenha uma fórmula para o termo n-ésimo, an.
(b) Estude a convergência ou divergência da série.

Passo 1

O enunciado apresenta a série alternada
1raiz2 - 1raiz3 + 1raiz4 - 1raiz5 + cdots
O conteúdo aqui é séries numéricas, em especial séries alternadas e teste de Leibniz. Vamos precisar escrever o termo geral, aplicar o critério de Leibniz e também verificar a convergência absoluta via p-série.

Passo 2

Para obter o termo geral, note que o sinal alterna a cada termo e os radicais são de n+1. Assim podemos escrever
an = (-1)^n+11raizn+1
Aqui, quando n=1 isso dá +1/raiz2, para n=2 -1/raiz3, e assim por diante.

Passo 3

Para estudar a convergência, usamos o critério de Leibniz. Definimos a sequência positiva
bn = 1raizn+1
Observamos que:
  1. bn>0 para todo n.
  2. bn+1 = 1/raizn+2 < 1/raizn+1 = bn, ou seja, bn é monótona decrescente.
  3. limntoinfty bn = 0, pois raizn+1toinfty.
    Pelos critérios de Leibniz, esses três pontos garantem que a série alternada converge.

Passo 4

Para verificar a convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty |an| = sumn=1^infty 1raizn+1
Como isso é uma p-série com p=1/2<=1, ela diverge. Logo, a série original é convergente, mas não absolutamente convergente (convergência condicional).

Resposta

(a) an = (-1)^n+1/raizn+1.
(b) A série é convergente pelo critério de Leibniz, mas a série dos valores absolutos diverge (p-série com p=1/2), logo a convergência é condicional.

Exercícios relacionados