Sejam \sum a_{n} e \sum b_{n} séries de termos positivos. Suponha que \sum b_{n}=+\infty e que exista n_{0} \in \mathbb{N} tal que
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} \geq \frac{b_{n+1}}{b_{n}}, \quad \text { para todo } n>n_{0}
Conclua que \sum a_{n}=+\infty.

Passo 1

O enunciado considera duas séries de termos positivos \sum a_{n} e \sum b_{n}, com \sum b_{n}=+\infty, e afirma que existe n_{0} tal que, para todo n>n_{0},
\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\ge \frac{b_{n+1}}{b_{n}}.
Queremos mostrar que, então, \sum a_{n}=+\infty. Vamos usar um argumento de comparação direta fundamentado em indução.

Passo 2

Defina a constante
C = \frac{a_{n_{0}+1}}{b_{n_{0}+1}}.
Vamos provar por indução que, para todo n\ge n_{0}+1, vale
a_{n}\;\ge\; C\,b_{n}.
Base n=n_{0}+1: pela definição de C temos exatamente a_{n_{0}+1}=C\,b_{n_{0}+1}.
Passo indutivo: suponha a_{n}\ge C\,b_{n} para algum n\ge n_{0}+1. Então, usando a hipótese de razão,
a_{n+1} = a_{n}\,\frac{a_{n+1}}{a_{n}} \ge \bigl(C\,b_{n}\bigr)\,\frac{b_{n+1}}{b_{n}} = C\,b_{n+1}.
Isso fecha a indução, mostrando a_{n}\ge C\,b_{n} para todo n\ge n_{0}+1.

Passo 3

Como todos os termos são não negativos, para qualquer N>n_{0} temos
\sum_{n=n_{0}+1}^{N}a_{n} \;\ge\; \sum_{n=n_{0}+1}^{N} \bigl(C\,b_{n}\bigr) = C\;\sum_{n=n_{0}+1}^{N}b_{n}.

Passo 4

Sabendo que \sum b_{n}=+\infty, o somatório \sum_{n=n_{0}+1}^{N}b_{n} cresce sem limite quando N\to\infty. Como C>0 é constante, também
\sum_{n=n_{0}+1}^{\infty}a_{n} = \lim_{N\to\infty}\sum_{n=n_{0}+1}^{N}a_{n} \;\ge\; C\;\lim_{N\to\infty}\sum_{n=n_{0}+1}^{N}b_{n} =+\infty.
Logo \sum a_{n} diverge.

Resposta

\displaystyle \sum a_{n}=+\infty.

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