Sejam
e
séries de termos positivos. Suponha que
e que exista
tal que
Conclua que
.
Passo 1
O enunciado considera duas séries de termos positivos
e
, com
, e afirma que existe
tal que, para todo
,
Queremos mostrar que, então,
. Vamos usar um argumento de comparação direta fundamentado em indução.
Passo 2
Defina a constante
Vamos provar por indução que, para todo
, vale
Base
: pela definição de
temos exatamente
.
Passo indutivo: suponha para algum
. Então, usando a hipótese de razão,
Passo indutivo: suponha
Isso fecha a indução, mostrando
para todo
.
Passo 3
Como todos os termos são não negativos, para qualquer
temos
Passo 4
Sabendo que
, o somatório
cresce sem limite quando
. Como
é constante, também
Logo
diverge.