Encontre as coordenadas do centroide da região delimitada pelo eixo
e pelo gráfico de
, para
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado: a função
e o intervalo . - Dado: a região delimitada pelo eixo
e pelo gráfico de para esse intervalo. Isso significa a região compreendida entre a curva por cima e a reta (eixo ) por baixo, com variando de a . - Pedido: encontrar as coordenadas do centroide (baricentro) dessa região — ou seja, calcular
e , as coordenadas do ponto médio de massa assumindo densidade uniforme.
Passo 2
Ideia física/matemática e dedução das fórmulas que vamos usar (explicado com calma):
Para regiões planas limitadas por
e
entre
e
, uma maneira prática é dividir a região em tiras verticais estreitas de largura
. Cada tira, em
fixo, tem:
- área elemental
(porque altura e largura ); - o centro dessa tira está no ponto de abscissa
e ordenada (metade da altura).
A partir disso obtemos as fórmulas padrão:
- Área total
- Coordenada
-do-centroide (primeiro momento em relação ao eixo ):
Explicação: cada tira contribui com momento
, somamos e dividimos pela área.
- Coordenada
-do-centroide (primeiro momento em relação ao eixo ):
Explicação: o momento em relação ao eixo
de uma tira é a área da tira vezes a sua ordenada média, isto é
. Somando e dividindo pela área dá
.
Vamos aplicar essas fórmulas com
,
,
.
Passo 3
Calcular a área
:
Calcule a integral passo a passo:
Avalia de
a
:
Passo 4
Calcular
usando
:
Primeiro a integral
Calcule as primitivas:
Avalia de
a
:
Agora
Se quiser aproximação decimal,
.
Passo 5
Calcular
usando
:
Primeiro expandir e integrar
Portanto
Calcule as primitivas:
Avalia de
a
:
Colocando em denominador comum
:
Somando:
Agora
Lembrando
, temos
, então
Simplificando divide por
:
Aproximação decimal:
.
Passo 6
Resumo e interpretação rápida (motivação para lembrar na prova):
- A área sob
deu . - A abscissa do centroide é a “média ponderada” das abscissas com peso
: . - A ordenada do centroide usa a média das alturas das tiras (cada tira tem centro em
), o que levou à fórmula com : .
Se precisar decorar: para região entre
e
,