Encontre as coordenadas do centroide da região delimitada pelo eixo x e pelo gráfico de f(x)=x^{2}+1, para 0 \leq x \leq 2.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: a função f(x)=x^{2}+1 e o intervalo 0\le x\le 2.
  • Dado: a região delimitada pelo eixo x e pelo gráfico de f para esse intervalo. Isso significa a região compreendida entre a curva y=f(x) por cima e a reta y=0 (eixo x) por baixo, com x variando de 0 a 2.
  • Pedido: encontrar as coordenadas do centroide (baricentro) dessa região — ou seja, calcular \bar{x} e \bar{y}, as coordenadas do ponto médio de massa assumindo densidade uniforme.

Passo 2

Ideia física/matemática e dedução das fórmulas que vamos usar (explicado com calma):
Para regiões planas limitadas por y=0 e y=f(x) entre x=a e x=b, uma maneira prática é dividir a região em tiras verticais estreitas de largura dx. Cada tira, em x fixo, tem:
  • área elemental dA = f(x)\,dx (porque altura f(x) e largura dx);
  • o centro dessa tira está no ponto de abscissa x e ordenada y=\dfrac{f(x)}{2} (metade da altura).
A partir disso obtemos as fórmulas padrão:
  • Área total
A=\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
  • Coordenada x-do-centroide (primeiro momento em relação ao eixo y):
\bar{x}=\frac{1}{A}\int_{a}^{b} x\,f(x)\,dx.
Explicação: cada tira contribui com momento x\,dA = x f(x)\,dx, somamos e dividimos pela área.
  • Coordenada y-do-centroide (primeiro momento em relação ao eixo x):
\bar{y}=\frac{1}{A}\int_{a}^{b} \left(\text{ordem média da tira}\right)\,dA =\frac{1}{A}\int_{a}^{b} \frac{f(x)}{2}\,f(x)\,dx =\frac{1}{2A}\int_{a}^{b} [f(x)]^{2}\,dx.é
Explicação: o momento em relação ao eixo x de uma tira é a área da tira vezes a sua ordenada média, isto é dM_x=\frac{f(x)}{2}\,dA=\frac{1}{2}f(x)^2\,dx. Somando e dividindo pela área dá \bar{y}.
Vamos aplicar essas fórmulas com f(x)=x^{2}+1, a=0, b=2.

Passo 3

Calcular a área A:
A=\int_{0}^{2} (x^{2}+1)\,dx.
Calcule a integral passo a passo:
\int (x^{2}+1)\,dx=\frac{x^{3}}{3}+x.
Avalia de 0 a 2:
A=\left[\frac{x^{3}}{3}+x\right]_{0}^{2}=\frac{2^{3}}{3}+2-\biggl(0+0\biggr)=\frac{8}{3}+2=\frac{8}{3}+\frac{6}{3}=\frac{14}{3}.

Passo 4

Calcular \bar{x} usando \bar{x}=\dfrac{1}{A}\int_{0}^{2} x f(x)\,dx:
Primeiro a integral
\int_{0}^{2} x(x^{2}+1)\,dx=\int_{0}^{2} (x^{3}+x)\,dx.
Calcule as primitivas:
\int (x^{3}+x)\,dx=\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{2}}{2}.
Avalia de 0 a 2:
\left[\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{2}=\frac{2^{4}}{4}+\frac{2^{2}}{2}= \frac{16}{4}+\frac{4}{2}=4+2=6.
Agora
\bar{x}=\frac{1}{A}\cdot 6=\frac{6}{\tfrac{14}{3}}=6\cdot\frac{3}{14}=\frac{18}{14}=\frac{9}{7}.
Se quiser aproximação decimal, \bar{x}\approx 1{,}2857.

Passo 5

Calcular \bar{y} usando \bar{y}=\dfrac{1}{2A}\int_{0}^{2} [f(x)]^{2}\,dx:
Primeiro expandir e integrar
[f(x)]^{2}=(x^{2}+1)^{2}=x^{4}+2x^{2}+1.
Portanto
\int_{0}^{2} [f(x)]^{2}\,dx=\int_{0}^{2} (x^{4}+2x^{2}+1)\,dx.
Calcule as primitivas:
\int (x^{4}+2x^{2}+1)\,dx=\frac{x^{5}}{5}+\frac{2x^{3}}{3}+x.
Avalia de 0 a 2:
\left[\frac{x^{5}}{5}+\frac{2x^{3}}{3}+x\right]_{0}^{2}=\frac{2^{5}}{5}+\frac{2\cdot 2^{3}}{3}+2=\frac{32}{5}+\frac{16}{3}+2.
Colocando em denominador comum 15:
\frac{32}{5}=\frac{96}{15},\qquad \frac{16}{3}=\frac{80}{15},\qquad 2=\frac{30}{15}.
Somando:
\int_{0}^{2} [f(x)]^{2}\,dx=\frac{96+80+30}{15}=\frac{206}{15}.
Agora
\bar{y}=\frac{1}{2A}\cdot\frac{206}{15}.
Lembrando A=\dfrac{14}{3}, temos 2A=\dfrac{28}{3}, então
\bar{y}=\frac{206}{15}\cdot\frac{1}{2A}=\frac{206}{15}\cdot\frac{3}{28}=\frac{618}{420}.
Simplificando divide por 6:
\bar{y}=\frac{103}{70}.
Aproximação decimal: \bar{y}\approx 1{,}4714286.

Passo 6

Resumo e interpretação rápida (motivação para lembrar na prova):
  • A área sob y=f(x) deu A=\dfrac{14}{3}.
  • A abscissa do centroide é a “média ponderada” das abscissas com peso f(x): \bar{x}=\dfrac{9}{7}.
  • A ordenada do centroide usa a média das alturas das tiras (cada tira tem centro em y=f(x)/2), o que levou à fórmula com \int f^2: \bar{y}=\dfrac{103}{70}.
Se precisar decorar: para região entre y=0 e y=f(x),
\bar{x}=\frac{\int x f(x)\,dx}{\int f(x)\,dx},\qquad \bar{y}=\frac{\int \tfrac{1}{2}f(x)^{2}\,dx}{\int f(x)\,dx}.

Resposta

\displaystyle (\bar{x},\bar{y})=\left(\frac{9}{7},\frac{103}{70}\right)

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