Sejam V um espaço vetorial, v, v_{1}, v_{2} \in V e a, b \in \mathbb{R}.
(a) Se a v=b v, então a=b ?

Passo 1

O enunciado diz que em um espaço vetorial V temos um vetor v\in V e escalares a,b\in\mathbb{R}, e pergunta se da igualdade
a\,v = b\,v
segue necessariamente que a = b. Vamos usar as propriedades de espaço vetorial, em particular a unicidade do anel de escalares que anula um vetor não-nulo.

Passo 2

Reescrevemos a condição subtraindo b\,v de ambos os lados:
a\,v - b\,v = 0_V \quad\Longrightarrow\quad (a-b)\,v = 0_V,
onde 0_V é o vetor nulo de V.

Passo 3

Em um espaço vetorial, vale o seguinte fato: se um escalar \lambda satisfaz \lambda\,v = 0_V e v\neq 0_V, então necessariamente \lambda=0. Aplicando com \lambda = a-b, obtemos que, se v\neq 0_V,
a-b = 0 \quad\Longrightarrow\quad a = b.

Passo 4

Por outro lado, se v = 0_V, então para quaisquer a,b vale
a\,0_V = 0_V = b\,0_V,
e não há informação para concluir a=b.

Resposta

Não necessariamente: apenas quando v\neq 0_V podemos cancelar e obter a=b. Se v=0_V, a igualdade a\,v=b\,v vale para quaisquer a e b.

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