Sejam
um espaço vetorial,
e
.
(a) Se
, então
?
(a) Se
Passo 1
O enunciado diz que em um espaço vetorial
temos um vetor
e escalares
, e pergunta se da igualdade
segue necessariamente que
. Vamos usar as propriedades de espaço vetorial, em particular a unicidade do anel de escalares que anula um vetor não-nulo.
Passo 2
Reescrevemos a condição subtraindo
de ambos os lados:
onde
é o vetor nulo de
.
Passo 3
Em um espaço vetorial, vale o seguinte fato: se um escalar
satisfaz
e
, então necessariamente
. Aplicando com
, obtemos que, se
,
Passo 4
Por outro lado, se
, então para quaisquer
vale
e não há informação para concluir
.
Resposta
Não necessariamente: apenas quando
podemos cancelar e obter
. Se
, a igualdade
vale para quaisquer
e
.