Sejam
e
. Calcule:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que temos pede para calcular o limite da derivada da função $ f(x) = \ln\left(\frac{1 - x}{1 + x^{2}}\right) $ quando $ x $ se aproxima de -1. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivada e as regras de diferenciação, especialmente a regra da cadeia e propriedades dos logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função $ f(x) $. Sabemos que:
Isso facilita a derivação, pois a derivada do logaritmo de uma função é a derivada dessa função dividida pela própria função.
Passo 3
Agora, vamos derivar $ f(x) $ em relação a $ x $. Usando a regra da derivada do logaritmo:
Explicando: A derivada de $ \ln(1 - x) $ é $ \frac{-1}{1 - x} $ porque a derivada de $ 1 - x $ é -1. Já a derivada de $ \ln(1 + x^{2}) $ é $ \frac{2x}{1 + x^{2}} $ pela regra da cadeia.
Passo 4
Agora que temos $ f’(x) $, vamos calcular o limite quando $ x $ se aproxima de -1:
Vamos calcular cada parte separadamente.
Passo 5
Primeiro, calculamos $ \lim_{x \to -1} \frac{-1}{1 - x} $:
Substituindo $ x = -1 $:
Passo 6
Agora, calculamos $ \lim_{x \to -1} \frac{2x}{1 + x^{2}} $:
Substituindo $ x = -1 $:
Passo 7
Agora, juntamos os resultados:
Resposta
O limite da derivada de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de -1 é $ \frac{1}{2} $.