Sejam f(x)=ln (1-x1+x^2) e g(x)=(x^3+x-1) sen(4 x). Calcule:
lim x -1 f^prime(x);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que temos pede para calcular o limite da derivada da função $ f(x) = \ln\left(\frac{1 - x}{1 + x^{2}}\right) $ quando $ x $ se aproxima de -1. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivada e as regras de diferenciação, especialmente a regra da cadeia e propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função $ f(x) $. Sabemos que:
f(x)
Isso facilita a derivação, pois a derivada do logaritmo de uma função é a derivada dessa função dividida pela própria função.

Passo 3

Agora, vamos derivar $ f(x) $ em relação a $ x $. Usando a regra da derivada do logaritmo:
f(x)
x
Explicando: A derivada de $ \ln(1 - x) $ é $ \frac{-1}{1 - x} $ porque a derivada de $ 1 - x $ é -1. Já a derivada de $ \ln(1 + x^{2}) $ é $ \frac{2x}{1 + x^{2}} $ pela regra da cadeia.

Passo 4

Agora que temos $ f’(x) $, vamos calcular o limite quando $ x $ se aproxima de -1:
f'(x)
Vamos calcular cada parte separadamente.

Passo 5

Primeiro, calculamos $ \lim_{x \to -1} \frac{-1}{1 - x} $:
Substituindo $ x = -1 $:
limx to -1 -11 - x

Passo 6

Agora, calculamos $ \lim_{x \to -1} \frac{2x}{1 + x^{2}} $:
Substituindo $ x = -1 $:
limx to -1 2x1 + x^2

Passo 7

Agora, juntamos os resultados:
limx to -1 f'(x) = ( -12 ) - (-1) = -12 + 1 = 12

Resposta

O limite da derivada de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de -1 é $ \frac{1}{2} $.

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