Sejam f(x)=5 raizx e g(x)=4+cos x.
Encontre (f circ g)(x) e (f circ g)^prime(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que envolve duas funções: $ f(x) = 5 \sqrt{x} $ e $ g(x) = 4 + \cos x $. A gente precisa descobrir a composição dessas funções, ou seja, $ (f \circ g)(x) $, e também a derivada dessa composição, que é $ (f \circ g)’(x) $. Para isso, vamos usar conceitos de composição de funções e regras de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ (f \circ g)(x) $. Isso quer dizer que a gente vai substituir a função $ g(x) $ dentro da função $ f(x) $. Então, onde tiver $ x $ em $ f(x) $, vamos colocar $ g(x) $.

Passo 3

Vamos substituir $ g(x) $ em $ f(x) $:
g(x)
Como $ f(x) = 5 \sqrt{x} $, substituindo $ x $ por $ 4 + \cos x $, temos:
f(x)

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada dessa composição, ou seja, $ (f \circ g)’(x) $. Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função composta. A regra da cadeia diz que a derivada de $ f(g(x)) $ é $ f’(g(x)) \cdot g’(x) $.

Passo 5

Primeiro, vamos encontrar $ f’(x) $. A função $ f(x) = 5 \sqrt{x} $ pode ser escrita como $ 5 x^{1/2} $. A derivada de $ x^{n} $ é $ n x^{n-1} $, então:
f'(x)

Passo 6

Agora, vamos encontrar $ g’(x) $. A função $ g(x) = 4 + \cos x $.
A derivada de $ 4 $ é $ 0 $ e a derivada de $ \cos x $ é $ -\sin x $, então:
g'(x)

Passo 7

Aplicando a regra da cadeia:
(f circ g)'(x) = f'(g(x)) cdot g'(x)
Substituindo $ f’(g(x)) $ e $ g’(x) $:
f'(g(x))
Simplificando:
g'(x)

Resposta

A composição das funções é $ (f \circ g)(x) = 5 \sqrt{4 + \cos x} $ e a derivada da composição é $ (f \circ g)’(x) = -\frac{5 \sin x}{2 \sqrt{4 + \cos x}} $.

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