Sejam
uma aplicação e
, sabemos que
. Para
, mostre que:
.
Passo 1
O enunciado dá uma aplicação
e a definição de imagem inversa (pré-imagem): para
,
A tarefa é mostrar a igualdade
Ou seja: provar que o conjunto de todos os
tais que
é o conjunto vazio.
Passo 2
Lembrete útil sobre igualdade de conjuntos: para provar que dois conjuntos
e
são iguais normalmente provamos duas inclusões:
Aqui usaremos isso com
e
. Explico também o que significa cada inclusão:
-
significa: para todo , se então . - A inclusão
é sempre verdadeira para qualquer : não há elementos em para falsificar a condição (verdade vacuamente).
Passo 3
Provarei primeiro
. A ideia é fazer um argumento por contradição/elemento: assumir que um elemento pertence a
e mostrar que isso leva a uma impossibilidade, o que implica que não existe tal elemento, ou seja,
não tem elementos.
Passo 4
Seja
. Pela definição de pré-imagem, isso significa que
. Mas por definição do conjunto vazio, não existe elemento de
que pertença a
; portanto a afirmação
é impossível. Consequentemente, a hipótese de que existe tal
é falsa. Logo não existe nenhum
com
, o que significa que
não contém elementos. Portanto
ou, seguindo a linguagem de inclusões, já obtivemos
e, na verdade, mostramos que
é vazio.
Passo 5
Para completar o argumento pela via das inclusões: a inclusão
é trivial, porque o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto (a definição de subconjunto exige que “para todo elemento de
…”, e não há elementos sobre os quais a condição possa falhar — isso é verdade vacuamente). Assim temos ambas as inclusões:
Passo 6
A partir das duas inclusões concluímos a igualdade dos conjuntos:
Uma forma mais direta e muitas vezes usada é a observação lógica: não existe
tal que
; portanto a coleção de tais
é vazia.