Sejam f: X \rightarrow Y uma aplicação e B \subseteq Y, sabemos que f^{-1}(B)=\{x \in X ; f(x) \in B\}. Para B_{1}, B_{2} \subseteq Y, mostre que:
f^{-1}(\emptyset)=\emptyset.

Passo 1

O enunciado dá uma aplicação f:X\to Y e a definição de imagem inversa (pré-imagem): para B\subseteq Y,
f^{-1}(B)=\{x\in X \mid f(x)\in B\}.
A tarefa é mostrar a igualdade
f^{-1}(\emptyset)=\emptyset.
Ou seja: provar que o conjunto de todos os x\in X tais que f(x)\in\emptyset é o conjunto vazio.

Passo 2

Lembrete útil sobre igualdade de conjuntos: para provar que dois conjuntos A e C são iguais normalmente provamos duas inclusões:
A\subseteq C \quad\text{e}\quad C\subseteq A.
Aqui usaremos isso com A=f^{-1}(\emptyset) e C=\emptyset. Explico também o que significa cada inclusão:
  • A\subseteq C significa: para todo x, se x\in A então x\in C.
  • A inclusão \emptyset\subseteq A é sempre verdadeira para qualquer A: não há elementos em \emptyset para falsificar a condição (verdade vacuamente).

Passo 3

Provarei primeiro f^{-1}(\emptyset)\subseteq\emptyset. A ideia é fazer um argumento por contradição/elemento: assumir que um elemento pertence a f^{-1}(\emptyset) e mostrar que isso leva a uma impossibilidade, o que implica que não existe tal elemento, ou seja, f^{-1}(\emptyset) não tem elementos.

Passo 4

Seja x\in f^{-1}(\emptyset). Pela definição de pré-imagem, isso significa que f(x)\in\emptyset. Mas por definição do conjunto vazio, não existe elemento de Y que pertença a \emptyset; portanto a afirmação f(x)\in\emptyset é impossível. Consequentemente, a hipótese de que existe tal x é falsa. Logo não existe nenhum x\in X com f(x)\in\emptyset, o que significa que f^{-1}(\emptyset) não contém elementos. Portanto
f^{-1}(\emptyset)=\emptyset
ou, seguindo a linguagem de inclusões, já obtivemos f^{-1}(\emptyset)\subseteq\emptyset e, na verdade, mostramos que f^{-1}(\emptyset) é vazio.

Passo 5

Para completar o argumento pela via das inclusões: a inclusão \emptyset\subseteq f^{-1}(\emptyset) é trivial, porque o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto (a definição de subconjunto exige que “para todo elemento de \emptyset …”, e não há elementos sobre os quais a condição possa falhar — isso é verdade vacuamente). Assim temos ambas as inclusões:
f^{-1}(\emptyset)\subseteq\emptyset \quad\text{e}\quad \emptyset\subseteq f^{-1}(\emptyset).

Passo 6

A partir das duas inclusões concluímos a igualdade dos conjuntos:
f^{-1}(\emptyset)=\emptyset.
Uma forma mais direta e muitas vezes usada é a observação lógica: não existe x\in X tal que f(x)\in\emptyset; portanto a coleção de tais x é vazia.

Resposta

f^{-1}(\emptyset)=\emptyset

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