Sejam
uma aplicação e
, sabemos que
, para algum
. Para
e
, mostre que:
.
Passo 1
O enunciado nos dá uma aplicação
e a definição da imagem de um conjunto: para
,
A pergunta específica é: mostrar que
.
Informações relevantes fornecidas: a definição formal de (peguei essa definição do enunciado) e o fato de que
é o conjunto vazio (não contém nenhum elemento).
Informações relevantes fornecidas: a definição formal de
Passo 2
Relembrando uma propriedade lógica importante sobre o conjunto vazio: expressões do tipo
são sempre falsas, para qualquer propriedade
, porque não existe nenhum elemento em
para satisfazer
. Vou usar isso diretamente na definição da imagem.
Passo 3
Aplicando a definição da imagem ao caso
, temos por definição
Pela observação do passo anterior, a condição
é sempre falsa, independentemente de
.
Passo 4
Mostro que
. Tome um elemento arbitrário
. Então, por definição de
,
Mas isso é impossível, porque não existe
. Logo não pode haver tal
. Conclui-se que não existe elemento em
, ou seja,
ou, pelo menos,
.
Passo 5
Mostro a inclusão oposta que, neste caso, é imediata:
é verdadeira para qualquer conjunto
, porque o conjunto vazio está contido em todo conjunto. Portanto já temos as duas inclusões necessárias para igualdade.
Passo 6
Como
(Passo 4) e
(Passo 5), concluímos que os dois conjuntos são iguais. Assim,