Sejam f: X \rightarrow Y uma aplicação e A \subseteq X, sabemos que f(A)=\{y \in Y ; y=f(a), para algum a \in A\}. Para A, A_{1}, A_{2} \subseteq X e B \subseteq Y, mostre que:
f(\emptyset)=\emptyset.

Passo 1

O enunciado nos dá uma aplicação \,f:X\to Y\, e a definição da imagem de um conjunto: para A\subseteq X,
f(A)=\{\,y\in Y \mid \exists a\in A\text{ tal que }y=f(a)\,\}.
A pergunta específica é: mostrar que \,f(\emptyset)=\emptyset\,.
Informações relevantes fornecidas: a definição formal de f(A) (peguei essa definição do enunciado) e o fato de que \emptyset é o conjunto vazio (não contém nenhum elemento).

Passo 2

Relembrando uma propriedade lógica importante sobre o conjunto vazio: expressões do tipo
\exists a\in\emptyset\; P(a)
são sempre falsas, para qualquer propriedade P, porque não existe nenhum elemento em \emptyset para satisfazer P. Vou usar isso diretamente na definição da imagem.

Passo 3

Aplicando a definição da imagem ao caso A=\emptyset, temos por definição
f(\emptyset)=\{\,y\in Y \mid \exists a\in\emptyset\text{ tal que }y=f(a)\,\}.
Pela observação do passo anterior, a condição \exists a\in\emptyset\; (y=f(a)) é sempre falsa, independentemente de y.

Passo 4

Mostro que f(\emptyset)\subseteq\emptyset. Tome um elemento arbitrário y\in f(\emptyset). Então, por definição de f(\emptyset),
\exists a\in\emptyset\text{ tal que }y=f(a).
Mas isso é impossível, porque não existe a\in\emptyset. Logo não pode haver tal y. Conclui-se que não existe elemento em f(\emptyset), ou seja, f(\emptyset)=\emptyset ou, pelo menos, f(\emptyset)\subseteq\emptyset.

Passo 5

Mostro a inclusão oposta que, neste caso, é imediata: \emptyset\subseteq f(\emptyset) é verdadeira para qualquer conjunto f(\emptyset), porque o conjunto vazio está contido em todo conjunto. Portanto já temos as duas inclusões necessárias para igualdade.

Passo 6

Como f(\emptyset)\subseteq\emptyset (Passo 4) e \emptyset\subseteq f(\emptyset) (Passo 5), concluímos que os dois conjuntos são iguais. Assim,
f(\emptyset)=\emptyset.

Resposta

f(\emptyset)=\emptyset

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