Sejam
e
. Considere a composta
.
Calcule
e verifique que
.
Calcule
Passo 1
O enunciado define a função de duas variáveis
e uma curva paramétrica
. Vamos calcular a derivada de
usando regras de derivação e depois verificar a regra da cadeia em várias variáveis.
Passo 2
Primeiro escrevemos
explicitamente substituindo
e
em
. Assim,
Passo 3
Derivando em relação a
pela regra de potência,
Passo 4
Agora vamos calcular o gradiente de
. Como
, temos
Passo 5
Avaliando em
obtemos
Passo 6
Em seguida calculamos
derivando cada componente de
:
Passo 7
Por fim, fazemos o produto escalar
que coincide com
Passo 8
Portanto, a verificação está completa.
Resposta
F’(t)=5t^4 e de fato F’(t)=∇f(γ(t))·γ’(t)=5t^4.