Sejam f(x, y)=x y e gamma(t)=(t^3, t^2). Considere a composta F(t)=f(gamma(t)).
Calcule F^prime(t) e verifique que F^prime(t)=nabla f(gamma(t)) cdot gamma^prime(t).

Passo 1

O enunciado define a função de duas variáveis f(x,y)=xy e uma curva paramétrica gamma(t)=(t^3,t^2). Vamos calcular a derivada de F(t)=f(gamma(t)) usando regras de derivação e depois verificar a regra da cadeia em várias variáveis.

Passo 2

Primeiro escrevemos F(t) explicitamente substituindo x=t^3 e y=t^2 em f(x,y)=xy. Assim,
F(t)=t^3cdot t^2=t^5

Passo 3

Derivando em relação a t pela regra de potência,
F'(t)=5t^4

Passo 4

Agora vamos calcular o gradiente de f. Como f(x,y)=xy, temos
nabla f(x,y)=l(partial fpartial x,partial fpartial yr)=(y,x)

Passo 5

Avaliando em gamma(t) obtemos
nabla f(gamma(t))=(t^2,t^3)

Passo 6

Em seguida calculamos gamma'(t) derivando cada componente de gamma(t)=(t^3,t^2):
gamma'(t)=(3t^2,2t)

Passo 7

Por fim, fazemos o produto escalar
nabla f(gamma(t))cdotgamma'(t)= (t^2,t^3)cdot(3t^2,2t)=3t^4+2t^4=5t^4,
que coincide com F'(t), confirmando a regra da cadeia.

Passo 8

Portanto, a verificação está completa.

Resposta

F’(t)=5t^4 e de fato F’(t)=∇f(γ(t))·γ’(t)=5t^4.

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