Sejam z=x^2 y, x=e^t^2 e y=2 t+1. Calcule d zd t.

Passo 1

Temos a função composta definida por z = x^2 y, com x = e^t^2 e y = 2t + 1. O conteúdo é a regra da cadeia para derivadas de funções de várias variáveis, e vamos precisar das derivadas parciais de z em relação a x e y, além de dx/dt e dy/dt.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de z mantendo a outra variável fixa. Diferenciando z = x^2 y em relação a x e a y, obtemos:
partial zpartial x = 2 x y
partial zpartial y = x^2

Passo 3

Agora, derivamos x e y em função de t. Como x = e^t^2, sua derivada é
dxdt = 2t , e^t^2
E como y = 2t + 1, temos
dydt = 2

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia para funções de duas variáveis:
dzdt = partial zpartial x cdot dxdt + partial zpartial y cdot dydt

Passo 5

Substituindo as derivadas parciais e as derivadas de x e y:
dzdt = (2 x y) cdot (2t,e^t^2) + (x^2) cdot 2
Agora inserimos x = e^t^2 e y = 2t+1 e usamos e^t^2e^t^2=e^2t^2, chegando à forma final. A expressão simplifica para a derivada procurada.

Resposta

dzdt = e^2t^2l(4t(2t+1) + 2r)

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