Estude a convergência, convergência absoluta ou divergência da séries abaixo
sumn=1^infty ln (nn+1)

Passo 1

Temos a série sumn=1^infty lnl(tfracnn+1r). O conteúdo aqui é estudo de convergência de séries infinitas, e vamos precisar usar propriedades de logaritmo e reconhecer uma soma telescópica.

Passo 2

Usando a propriedade de logaritmos, escrevemos em cada termo:
lnl(tfracnn+1r)=ln n - ln(n+1)

Passo 3

Agora calculamos a soma parcial SN=sumn=1^N[ln n - ln(n+1)]. Observe que quase todos os termos se cancelam (telescópica):
SN=l(ln1-ln2r)+(ln2-ln3)+cdots+(ln N-ln(N+1))=ln1-ln(N+1)=-ln(N+1)

Passo 4

Avaliando o limite da soma parcial: limNtoinftySN=limNtoinfty[-ln(N+1)]=-infty. Portanto a série não converge para um valor finito — ela diverge.

Passo 5

Para checar a convergência absoluta, analisamos
sumn=1^inftyl|lnl(tfracnn+1r)r|=sumn=1^inftylnl(1+tfrac1nr)

Passo 6

Como para grandes n vale ln(1+tfrac1n)simtfrac1n e a série harmônica sum1/n diverge, essa série absoluta também diverge. Logo não há convergência absoluta.

Resposta

A série é divergente e não converge absolutamente.

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