Sejam F(x, y, z)=(y e^x, x e^y, z^2) e G(x, y, z)=(x, y, z). Calcule:
(nabla times F) times(nabla times G).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto vetorial entre os rotações (curls) de dois campos vetoriais
vec F(x,y,z)=(y e^x,,x e^y,,z^2) e vec G(x,y,z)=(x,y,z).
O conteúdo necessário envolve
  1. o operador rotacional nablatimescdot,
  2. o produto vetorial entre dois vetores.

Passo 2

Calcular nablatimesvec F usando a definição via determinante
nablatimesvec F = i&j&k partialx&partialy&partialz y e^x&x e^y&z^2
Isso dá, componente a componente:
(nablatimesvec F)x =partialy(z^2)-partialz(xe^y)=0-0=0,
(nablatimesvec F)y =partialz(ye^x)-partialx(z^2)=0-0=0,
(nablatimesvec F)z =partialx(xe^y)-partialy(ye^x) =e^y - e^x
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nablatimesvec F = (0,,0,,e^y - e^x)

Passo 3

Calcular nablatimesvec G de maneira análoga:
nablatimesvec G = i&j&k partialx&partialy&partialz x&y&z
Cada derivada mista ali é zero, pois partialy z=partialz y=partialx z=cdots=0. Portanto
nablatimesvec G = (0,,0,,0)

Passo 4

Agora fazemos o produto vetorial
(nablatimesvec F)times(nablatimesvec G) =(0,0,e^y - e^x)times(0,0,0)
Qualquer vetor cruzado com o vetor nulo é o vetor nulo.

Resposta

( nablatimesvec F)times(nablatimesvec G) = (0,0,0)

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