Sejam f1=e1-e2
& f2=2 e1-e2+2 e3 & f3=-e1+2 e3
(f2) é LI ou LD?

Passo 1

Resumindo, temos três vetores em R^3:
vec f1=vec e1-vec e2,
vec f2=2vec e1-vec e2+2vec e3 e
vec f3=-vec e1+2vec e3.
O objetivo é verificar se o conjunto vec f1,vec f2,vec f3 é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD).

Passo 2

Escrevemos cada vec fi em coordenadas na base canônica (vec e1,vec e2,vec e3):
vec f1 = (1,,-1,,0), vec f2 = (2,,-1,,2), vec f3 = (-1,,0,,2)
Montamos a matriz M cujas colunas são essas coordenadas:
M = 1 & 2 & -1 -1 & -1 & 0 0 & 2 & 2

Passo 3

Calculamos o determinante de M. Usando a expansão pela primeira linha:
det(M) =1cdotdet-1&02&2 -2cdotdet-1&00&2 +(-1)cdotdet-1&-10&2
Agora cada menor:
det-1&02&2 = (-1)cdot2 - 0cdot2 = -2,
det-1&00&2 = (-1)cdot2 - 0cdot0 = -2,
det-1&-10&2 = (-1)cdot2 - (-1)cdot0 = -2
Substituindo:
det(M) = 1cdot(-2) -2cdot(-2) +(-1)cdot(-2) = -2 +4 +2 = 4

Passo 4

Como det(M)=4neq0, a única combinação linear que zera é a trivial. Logo vec f1,vec f2,vec f3 é linearmente independente.

Resposta

O conjunto é linearmente independente.

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