Sejam f1=e1-e2
& f2=2 e1-e2+2 e3 & f3=-e1+2 e3
(f1, f3) é LI ou LD?

Passo 1

O enunciado define três vetores no espaço com a base canônica vec e1,vec e2,vec e3:
vec f1=vec e1-vec e2,
vec f2=2vec e1-vec e2+2vec e3,
vec f3=-vec e1+2vec e3.
Precisamos decidir se o par l(vec f1,vec f3r) é linearmente independente (LI) ou dependente (LD). Para isso, basta expressar vec f1 e vec f3 em coordenadas na base canônica e verificar se um é múltiplo escalar do outro (ou, de forma equivalente, se a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial).

Passo 2

Escrevendo em coordenadas na base vec e1,vec e2,vec e3, temos
vec f1 = 1cdotvec e1 + (-1)cdotvec e2 + 0cdotvec e3 ;longrightarrow; vec f1 = 1 -1 0,
vec f3 = -1cdotvec e1 + 0cdotvec e2 + 2cdotvec e3 ;longrightarrow; vec f3 = -1 0 2

Passo 3

Testamos se existe lambdainR tal que vec f3 = lambda,vec f1.
Pela primeira componente, -1 = lambdacdot1 lambda = -1.
Mas então a segunda componente exigiria
0 = lambdacdot(-1) = -1cdot(-1) = 1,
o que é impossível. Logo não há escalar lambda que satisfaça vec f3=lambdavec f1. Portanto a única combinação linear que anula ambos é a trivial.

Resposta

O par l(vec f1, vec f3r) é linearmente independente (LI).

Exercícios relacionados