Sejam F1=1, F2=1 e Fn=Fn-1+Fn-2, tal que n >= 3 ( Fn é chamado o n-ésimo número de Fibonacci). Mostre que:
F1+F3+F5+cdots+F2 n-1=F2 n

Passo 1

O enunciado define a sequência de Fibonacci por
F1=1, F2=1, Fn=Fn-1+Fn-2(n>=3)
e pede para mostrar que a soma dos termos de índice ímpar até 2n-1 vale exatamente F2n, isto é,
F1+F3+F5+cdots+F2n-1=F2n
O conteúdo aqui é prova por indução matemática.

Passo 2

Verificação da base n=1.
À esquerda temos apenas F1=1 e à direita F2cdot1=F2=1. Logo
F1=1=F2,
portanto a fórmula vale para n=1.

Passo 3

Hipótese de indução.
Suponha que para algum k>=1 já seja verdade que
F1+F3+cdots+F2k-1=F2k

Passo 4

Passo de indução.
Queremos mostrar que
F1+F3+cdots+F2k-1+F2k+1=F2(k+1)
Pela hipótese sabemos que a soma até F2k-1 é F2k, então
F1+cdots+F2k-1+F2k+1 =F2k+F2k+1
Como a sequência de Fibonacci satisfaz F2k+2=F2k+1+F2k, segue
F2k+F2k+1=F2k+2=F2(k+1),
que é exatamente o que queríamos.

Passo 5

Conclusão por indução.
Já que a base n=1 vale e o passo de indução foi confirmado, pelo princípio da indução matemática temos
F1+F3+cdots+F2n-1=F2n
para todo n>=1.

Resposta

A identidade está demonstrada:
F1+F3+F5+cdots+F2n-1=F2n

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