Sejam
e
, tal que
(
é chamado o n-ésimo número de Fibonacci). Mostre que:
Passo 1
O enunciado define a sequência de Fibonacci por
e pede para mostrar que a soma dos termos de índice ímpar até
vale exatamente
, isto é,
O conteúdo aqui é prova por indução matemática.
Passo 2
Verificação da base
.
À esquerda temos apenas e à direita
. Logo
À esquerda temos apenas
portanto a fórmula vale para
.
Passo 3
Hipótese de indução.
Suponha que para algum já seja verdade que
Suponha que para algum
Passo 4
Passo de indução.
Queremos mostrar que
Queremos mostrar que
Pela hipótese sabemos que a soma até
é
, então
Como a sequência de Fibonacci satisfaz
, segue
que é exatamente o que queríamos.
Passo 5
Conclusão por indução.
Já que a base vale e o passo de indução foi confirmado, pelo princípio da indução matemática temos
Já que a base
para todo
.
Resposta
A identidade está demonstrada: