Sejam F1=1, F2=1 e Fn=Fn-1+Fn-2, tal que n >= 3 ( Fn é chamado o n-ésimo número de Fibonacci). Mostre que:
F2+F4+F6+cdots+F2 n=F2 n+1-1

Passo 1

O enunciado define a sequência de Fibonacci por
F1=1, F2=1, Fn=Fn-1+Fn-2(n>=3)
e pede para mostrar que, para todo inteiro n>=1,
F2+F4+cdots+F2n=F2n+1-1
O método mais direto aqui é o da indução matemática sobre n.

Passo 2

Base da indução ( n=1):
O lado esquerdo é
F2=1,
e o lado direito é
F2cdot1+1-1=F3-1=2-1=1
Portanto a igualdade vale para n=1.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que, para algum n>=1, já seja verdade que
F2+F4+cdots+F2n=F2n+1-1

Passo 4

Passo indutivo ( nto n+1):
Considere a soma até 2(n+1). Temos
F2+F4+cdots+F2n+F2(n+1) =l(F2+F4+cdots+F2nr)+F2n+2
Pela hipótese de indução, o parêntese vale F2n+1-1. Logo
sumk=1^n+1F2k =(F2n+1-1)+F2n+2
Mas a própria definição de Fibonacci dá
F2n+3=F2n+2+F2n+1,
de onde
(F2n+1-1)+F2n+2 =F2n+3-1
Assim mostramos que a fórmula vale para n+1.

Passo 5

Pelo princípio da indução matemática, a identidade
F2+F4+cdots+F2n=F2n+1-1
é verdadeira para todo inteiro n>=1.

Resposta

F2+F4+cdots+F2n=F2n+1-1

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