Sejam
,
,
,
e
.
Encontre a função
e seu domínio.
Encontre a função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem cinco funções diferentes e precisa encontrar a combinação delas, especificamente $ f_{4} \circ f_{1} + 6 f_{2} \circ f_{3} $, além de determinar o domínio dessa nova função. Para isso, vamos usar conceitos de funções compostas e operações com funções. Vamos passo a passo para não ficar complicado!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa $ f_{4} \circ f_{1} $. Isso é uma função composta, ou seja, a gente vai aplicar $ f_{1} $ primeiro e depois passar o resultado para $ f_{4} $. Então, se tivermos um valor $ x $, fazemos:
Aqui, a função $ f_{1}(x) = \sqrt[9]{x + 2} $ pega o valor de $ x $, adiciona 2 e tira a raiz nona. Depois, $ f_{4}(y) = e^{y + 7} $ vai pegar esse resultado e elevar $ e $ à potência de $ y + 7 $.
Passo 3
Agora, vamos calcular $ 6 f_{2} \circ f_{3} $. Primeiro, vamos entender a composição $ f_{2} \circ f_{3} $:
A função $ f_{3}(x) = \sin(x + 5) $ calcula o seno de $ x + 5 $. Depois, $ f_{2}(y) = 9 - y^{2} $ pega esse resultado e faz $ 9 $ menos o quadrado de $ y $. Multiplicamos tudo por 6 no final:
Passo 4
Agora, vamos juntar as duas partes que calculamos:
Simplificando um pouco mais:
Passo 5
Agora, vamos determinar o domínio dessa função. O domínio é o conjunto de todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida.
-
Para $ f_{1}(x) = \sqrt[9]{x + 2} $: A raiz nona de qualquer número real está definida para todos os $ x $, então não há restrições aqui.
-
Para $ f_{4}(y) = e^{y + 7} $: A função exponencial está definida para todos os números reais.
-
Para $ f_{3}(x) = \sin(x + 5) $: A função seno está definida para todos os $ x $.
-
Para $ f_{2}(y) = 9 - y^{2} $: Essa função é um polinômio e está definida para todos os números reais.
Como não há nenhuma restrição em nenhuma das funções envolvidas, o domínio da função composta é todos os números reais.
Resposta
A função composta é:
E o domínio dessa função é: