Sejam f1(x)=raiz[9]x+2, f2(x)=9-x^2, f3(x)=sen(x+5), f4(x)=e^x+7 e f5(x)=ln (1-x).
Encontre a função f4 circ f1+6 f2 circ f3 e seu domínio.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem cinco funções diferentes e precisa encontrar a combinação delas, especificamente $ f_{4} \circ f_{1} + 6 f_{2} \circ f_{3} $, além de determinar o domínio dessa nova função. Para isso, vamos usar conceitos de funções compostas e operações com funções. Vamos passo a passo para não ficar complicado!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ f_{4} \circ f_{1} $. Isso é uma função composta, ou seja, a gente vai aplicar $ f_{1} $ primeiro e depois passar o resultado para $ f_{4} $. Então, se tivermos um valor $ x $, fazemos:
f4 circ f1
Aqui, a função $ f_{1}(x) = \sqrt[9]{x + 2} $ pega o valor de $ x $, adiciona 2 e tira a raiz nona. Depois, $ f_{4}(y) = e^{y + 7} $ vai pegar esse resultado e elevar $ e $ à potência de $ y + 7 $.

Passo 3

Agora, vamos calcular $ 6 f_{2} \circ f_{3} $. Primeiro, vamos entender a composição $ f_{2} \circ f_{3} $:
6 f2 circ f3
A função $ f_{3}(x) = \sin(x + 5) $ calcula o seno de $ x + 5 $. Depois, $ f_{2}(y) = 9 - y^{2} $ pega esse resultado e faz $ 9 $ menos o quadrado de $ y $. Multiplicamos tudo por 6 no final:
f2 circ f3

Passo 4

Agora, vamos juntar as duas partes que calculamos:
f4(f1(x)) + 6 times f2(f3(x)) = e^raiz[9]x + 2 + 7 + 6 times (9 - (sin(x + 5))^2)
Simplificando um pouco mais:
e^raiz[9]x + 2 + 7 + 54 - 6(sin(x + 5))^2

Passo 5

Agora, vamos determinar o domínio dessa função. O domínio é o conjunto de todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida.
  • Para $ f_{1}(x) = \sqrt[9]{x + 2} $: A raiz nona de qualquer número real está definida para todos os $ x $, então não há restrições aqui.
  • Para $ f_{4}(y) = e^{y + 7} $: A função exponencial está definida para todos os números reais.
  • Para $ f_{3}(x) = \sin(x + 5) $: A função seno está definida para todos os $ x $.
  • Para $ f_{2}(y) = 9 - y^{2} $: Essa função é um polinômio e está definida para todos os números reais.
Como não há nenhuma restrição em nenhuma das funções envolvidas, o domínio da função composta é todos os números reais.

Resposta

A função composta é:
f4 circ f1 + 6 f2 circ f3 = e^raiz[9]x + 2 + 7 + 54 - 6(sin(x + 5))^2
E o domínio dessa função é:
R (todos os números reais)

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