Sejam f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} uma função escalar definida em \mathbb{R}^{3} e C uma curva parametrizada dada por x=\frac{4}{\pi} \arctan t^{2}, y=\sqrt[4]{(t+1)(7 t+1)}, z=e^{\sqrt{t-t^{2}}}, onde 0 \leq t \leq 1. Então o valor da integral de linha \int_{C} \nabla f \cdot d \vec{r} é:
(a) 4
(b) 0
(c) \int_{0}^{1} \frac{8}{\pi} \arctan t^{2}+2 \sqrt[4]{(t+1)(7 t+1)}+2 e^{\sqrt{t-t^{2}}} d t
(d) \frac{64}{\pi^{2}}+14 \sqrt{2}+\frac{e}{2}(3 \sqrt{3}-1)
(e) 1

Passo 1

O enunciado nos dá a função escalar f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}\) em \(\mathbb{R}^{3}\) e a curva \(C\) paramatrizada por \[\begin{cases} x(t)=\dfrac{4}{\pi}\arctan(t^{2}),\\[6pt] y(t)=\sqrt[4]{(t+1)(7t+1)},\\[6pt] z(t)=e^{\sqrt{\,t-t^{2}\,}}, \end{cases} \quad 0\le t\le1.
Queremos calcular a integral de linha \displaystyle\int_{C}\nabla f\cdot d\vec r\]. Como \(\nabla f é um campo conservativo (é o gradiente de f), usaremos o Teorema Fundamental das Integrais de Linha, que diz
\int_{C}\nabla f\cdot d\vec r = f\bigl(\vec r(1)\bigr)-f\bigl(\vec r(0)\bigr).]

Passo 2

Calcular o ponto final \vec r(1):
x(1)=\frac{4}{\pi}\arctan(1^{2}) =\frac{4}{\pi}\cdot\frac{\pi}{4}=1, \quad y(1)=\sqrt[4]{(1+1)(7\cdot1+1)} =\sqrt[4]{2\cdot8}=\sqrt[4]{16}=2, \quad z(1)=e^{\sqrt{1-1^{2}}}=e^{0}=1.
Logo \vec r(1)=(1,2,1) e
f\bigl(\vec r(1)\bigr) =1^{2}+2^{2}+1^{2}=1+4+1=6.

Passo 3

Calcular o ponto inicial \vec r(0):
x(0)=\frac{4}{\pi}\arctan(0)=0, \quad y(0)=\sqrt[4]{(0+1)(7\cdot0+1)}=\sqrt[4]{1\cdot1}=1, \quad z(0)=e^{\sqrt{0-0}}=e^{0}=1.
Logo \vec r(0)=(0,1,1) e
f\bigl(\vec r(0)\bigr) =0^{2}+1^{2}+1^{2}=0+1+1=2.

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental:
\int_{C}\nabla f\cdot d\vec r =f\bigl(\vec r(1)\bigr)-f\bigl(\vec r(0)\bigr) =6-2=4.

Resposta

4

Exercícios relacionados