Sendo \vec{F}=\left(\left(x^{2}+y^{2}+2 x\right) e^{x}-\cos x, 2 y e^{x}\right) um campo de força conservativo, o trabalho realizado pela força \vec{F} ao mover uma particula ao longo do caminho \gamma(t)=(t, \cos t), t \in[0, \pi / 4] é:
(a) W=e^{\pi / 4}\left(1+\frac{\pi^{2}}{16}\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}-2
(b) W=e^{\pi / 4}\left(\frac{1}{2}+\frac{\pi^{2}}{16}\right)-\frac{\sqrt{2}}{2}-2
(c) W=e^{\pi / 4} \frac{\pi^{2}}{16}+\frac{e^{\pi / 2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}-1
(d) W=e^{\pi / 4}\left(\frac{1}{2}+\frac{\pi^{2}}{16}\right)-\frac{\sqrt{2}}{2}-1
(e) W=e^{\pi / 4}\left(\frac{1}{2}+\frac{\pi^{2}}{16}\right)-\frac{\sqrt{2}}{2}+1

Passo 1

O enunciado dá o campo de força conservativo \vec{F}=(P,Q) com
P(x,y)=\bigl(x^2+y^2+2x\bigr)e^x-\cos x, \quad Q(x,y)=2y\,e^x
e o caminho \gamma(t)=(t,\cos t), t\in[0,\pi/4].
Como \vec{F} é conservativo, o trabalho é dado por
W=\varphi\bigl(\gamma(\pi/4)\bigr)-\varphi\bigl(\gamma(0)\bigr),
onde \varphi é o potencial de \vec{F} tal que \nabla\varphi=\vec{F}.

Passo 2

Para achar \varphi(x,y) integramos P em relação a x, tratando y como constante:
\varphi(x,y) =\int\Bigl[(x^2+y^2+2x)e^x-\cos x\Bigr]\,dx +h(y).
Usando integrais conhecidas, obtém-se
\int (x^2+y^2+2x)e^x\,dx =(x^2+y^2)e^x, \quad \int(-\cos x)\,dx=-\sin x,
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\varphi(x,y)=(x^2+y^2)e^x-\sin x +h(y).

Passo 3

Impondo \phi_y=Q temos
\frac{\partial\varphi}{\partial y} =2y\,e^x +h'(y) \overset!=2y\,e^x \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=0,
ou seja h(y) é constante que podemos tomar zero. Assim
\varphi(x,y)=(x^2+y^2)e^x-\sin x.

Passo 4

Aplicamos a fórmula do trabalho:
W =\varphi\bigl(\pi/4,\cos(\pi/4)\bigr) -\varphi\bigl(0,\cos0\bigr).
Como \cos(\pi/4)=\tfrac{\sqrt2}{2} e \cos0=1, calculemos cada termo.

Passo 5

Para o ponto final
\varphi\bigl(\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr) =\bigl((\tfrac{\pi}{4})^2+(\tfrac{\sqrt2}{2})^2\bigr)e^{\pi/4} -\sin(\tfrac{\pi}{4}) =e^{\pi/4}\Bigl(\tfrac{\pi^2}{16}+\tfrac12\Bigr) -\tfrac{\sqrt2}{2}.
Para o ponto inicial
\varphi(0,1)=(0^2+1^2)e^0-\sin0=1.
Portanto
W =e^{\pi/4}\Bigl(\tfrac12+\tfrac{\pi^2}{16}\Bigr) -\tfrac{\sqrt2}{2} -1,
o que coincide com a alternativa (d).

Resposta

(d)

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