Mostre que
sin (u+v2) sin (u-v2)=12[cos (v)-cos (u)]

Passo 1

Temos que mostrar que
sin!l(u+v2r),sin!l(u-v2r) =12l[cos(v)-cos(u)r]
. Esse é um caso de conversão de produto de senos em diferença de cossenos.

Passo 2

Começamos lembrando as fórmulas de soma e diferença de cossenos:
cos(A - B) = cos Acos B + sin Asin B
cos(A + B) = cos Acos B - sin Asin B
Subtraindo a segunda da primeira vem
cos(A - B) - cos(A + B) = 2,sin Asin B
e, portanto,
sin Asin B = 12l[cos(A - B) - cos(A + B)r]

Passo 3

Escolhemos
A = u+v2, B = u-v2
Então
A - B = u+v2 - u-v2 = v,
A + B = u+v2 + u-v2 = u

Passo 4

Substituindo esses valores na identidade de produto para soma obtemos
sin!l(tfracu+v2r),sin!l(tfracu-v2r) = 12l[cos(v)-cos(u)r],
que é exatamente o que queríamos demonstrar.

Resposta

sin!l(u+v2r),sin!l(u-v2r) =12l[cos(v)-cos(u)r]

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