Sejam
duas funções de classe
definidas no aberto
. Seja
uma região contida em
cuja fronteira é uma curva de Jordan suave por partes. Prove as seguintes identidades, em que
:
\oint_{C} \frac{\partial g}{\partial n} d s=\iint_{R} \Delta g d x d y.
\oint_{C} \frac{\partial g}{\partial n} d s=\iint_{R} \Delta g d x d y.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é uma função de classe
em um aberto
e
tem fronteira
suave por partes, então vale a identidade
onde
e
é a derivada normal exterior de
. O que vamos usar é o Teorema da Divergência (ou de Green na forma normal).
Passo 2
Definimos o campo vetorial
Como
é de classe
,
é de classe
e sua divergência é
Passo 3
Pelo Teorema da Divergência em
, para a região
de fronteira
orientada positivamente (região à esquerda ao percorrer
):
onde
é o vetor normal unitário exterior a
.
Passo 4
Note que
isto é, o produto escalar de
com a normal exterior é exatamente a derivada normal de
. Substituindo na fórmula do Teorema da Divergência, obtemos