Sejam f, g: S subset R^2 R duas funções de classe C^2 definidas no aberto S. Seja R uma região contida em S cuja fronteira é uma curva de Jordan suave por partes. Prove as seguintes identidades, em que De<a=partial^2partial x^2+partial^2partial y^2 :
\oint_{C} \frac{\partial g}{\partial n} d s=\iint_{R} \Delta g d x d y.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se g é uma função de classe C^2 em um aberto SsubsetR^2 e Rsubset S tem fronteira C suave por partes, então vale a identidade
ointCpartial gpartial n,ds ;=;integral duplaRDe<a g,dx,dy,
onde De<a = partial^2partial x^2+partial^2partial y^2 e partial gpartial n é a derivada normal exterior de g. O que vamos usar é o Teorema da Divergência (ou de Green na forma normal).

Passo 2

Definimos o campo vetorial
F(x,y) = l(tfracpartial gpartial x(x,y),;tfracpartial gpartial y(x,y)r)
Como g é de classe C^2, F é de classe C^1 e sua divergência é
div,F =partialpartial xl(tfracpartial gpartial xr) +partialpartial yl(tfracpartial gpartial yr) =partial^2 gpartial x^2+partial^2 gpartial y^2 =De<a g

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência em R^2, para a região R de fronteira C orientada positivamente (região à esquerda ao percorrer C):
integral duplaRdiv,F,dx,dy =ointCFcdotn,ds,
onde n é o vetor normal unitário exterior a R.

Passo 4

Note que
Fcdotn =partial gpartial xn1+partial gpartial yn2 equiv partial gpartial n,
isto é, o produto escalar de nabla g com a normal exterior é exatamente a derivada normal de g. Substituindo na fórmula do Teorema da Divergência, obtemos
integral duplaRDe<a g,dx,dy =ointCpartial gpartial n,ds

Resposta

boxed;ointCpartial gpartial n,ds ;=;integral duplaRDe<a g,dx,dy;

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