Sejam as funções
e
de
em
definidas abaixo. Determine se são iguais. Justifique.
Passo 1
O enunciado pede pra comparar as funções de ℝ em ℝ
definidas por
definidas por
O conteúdo aqui é estudo de domínio de funções envolvendo raiz quadrada e a propriedade
Passo 2
Para achar o domínio de f, precisamos que o radicando seja não-negativo e o denominador não-zero:
Resolvendo a desigualdade de razão, encontramos duas regiões:
- Numerador e denominador ≥0: x−1≥0 e x+1>0 ⇒ x≥1.
- Numerador e denominador ≤0: x−1≤0 e x+1<0 ⇒ x<−1.
Logo o domínio de f é
Passo 3
Para achar o domínio de g, precisamos que cada raiz tenha radicando não-negativo e o denominador não-zero:
Isso dá x≥1 (pois aí x+1>0 segue automático). Portanto
Passo 4
Comparando domínios, vemos que
Em particular, para x<−1 a função f está definida mas g não.
Passo 5
Para x∈[1,∞), podemos usar a propriedade de raiz de razão (já que x+1>0):
$$f(x)=\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}=\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}=g(x).
$$
Logo as duas funções coincidem em [1,∞), mas f está definida ainda em (−∞,−1), onde g não existe.
Logo as duas funções coincidem em [1,∞), mas f está definida ainda em (−∞,−1), onde g não existe.
Passo 6
Como os domínios são diferentes, f e g não são iguais como funções de ℝ em ℝ.
Resposta
As funções não são iguais, pois têm domínios diferentes (f em (−∞,−1)∪[1,∞), g em [1,∞)).