Sejam as funções f e g de R em R definidas abaixo. Determine se são iguais. Justifique.
f(x)=raizx-1x+1 g(x)=raizx-1raizx+1

Passo 1

O enunciado pede pra comparar as funções de ℝ em ℝ
definidas por
f(x)=raizx-1x+1 e
g(x)=raizx-1raizx+1
O conteúdo aqui é estudo de domínio de funções envolvendo raiz quadrada e a propriedade
raiztfracAB=raiz Araiz B\naplicável quando a condição de sinal de B for satisfeita.

Passo 2

Para achar o domínio de f, precisamos que o radicando seja não-negativo e o denominador não-zero:
x-1x+1>=0, x+1ne0
Resolvendo a desigualdade de razão, encontramos duas regiões:
- Numerador e denominador ≥0: x−1≥0 e x+1>0 ⇒ x≥1.
- Numerador e denominador ≤0: x−1≤0 e x+1<0 ⇒ x<−1.
Logo o domínio de f é
Df=(-infty,-1)cup[1,infty)

Passo 3

Para achar o domínio de g, precisamos que cada raiz tenha radicando não-negativo e o denominador não-zero:
x-1>=0, x+1>0
Isso dá x≥1 (pois aí x+1>0 segue automático). Portanto
Dg=[1,infty)

Passo 4

Comparando domínios, vemos que
Dg=[1,infty)subset Df=(-infty,-1)cup[1,infty)
Em particular, para x<−1 a função f está definida mas g não.

Passo 5

Para x∈[1,∞), podemos usar a propriedade de raiz de razão (já que x+1>0):
$$f(x)=\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}=\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}=g(x).
$$
Logo as duas funções coincidem em [1,∞), mas f está definida ainda em (−∞,−1), onde g não existe.

Passo 6

Como os domínios são diferentes, f e g não são iguais como funções de ℝ em ℝ.

Resposta

As funções não são iguais, pois têm domínios diferentes (f em (−∞,−1)∪[1,∞), g em [1,∞)).

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