Sejam f, g funções diferenciáveis em uma aberto U subset R^n. Mostre que
(a) De<a(f g)=g De<a f+f De<a g+2lang<=nabla f, nabla grang<=;
(b) 12 De<a(f^2)=f De<a f+|nabla f|^2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas fórmulas envolvendo o laplaciano de funções em R^n. O conteúdo aqui é cálculo vetorial: precisamos usar as definições de gradiente, divergência e laplaciano, além das regras de produto para gradiente e divergência.

Passo 2

Vamos anotar as fórmulas que vamos usar:
– Gradiente do produto
nabla(fg)=fnabla g + gnabla f
– Definição de laplaciano
De<a h = div,(nabla h) = sumi=1^n partial^2 hpartial xi^2
– Regra de produto para divergência, valendo para escalar phi e campo vetorial X:
div(phi,X)=nablaphicdot X + phi,div,X

Passo 3

Prova de (a):
De<a(fg)=divl(nabla(fg)r) =divl(fnabla g+gnabla fr) =div(fnabla g)+div(gnabla f)
Aplicando a regra do produto em cada termo:
div(fnabla g)=nabla fcdotnabla g + f,De<a g, div(gnabla f)=nabla gcdotnabla f + g,De<a f
Somando, como nabla fcdotnabla g=nabla gcdotnabla f, obtemos
De<a(fg)=g,De<a f+f,De<a g+2,lang<=nabla f,nabla grang<=

Passo 4

Prova de (b): basta aplicar (a) ao caso g=f, ou recomeçar direto:
nabla(f^2)=2f,nabla f Longrightarrow De<a(f^2)=div(2f,nabla f) =2,nabla fcdotnabla f + 2f,De<a f =2|nabla f|^2+2f,De<a f
Dividindo tudo por 2, chega-se a
12,De<a(f^2)=f,De<a f + |nabla f|^2

Resposta

(a) De<a(fg)=g,De<a f + f,De<a g + 2lang<=nabla f,nabla grang<=
(b) 12,De<a(f^2)=f,De<a f + |nabla f|^2

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