Sejam
funções diferenciáveis em uma aberto
. Mostre que
(a)
;
(b)
.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar duas fórmulas envolvendo o laplaciano de funções em
. O conteúdo aqui é cálculo vetorial: precisamos usar as definições de gradiente, divergência e laplaciano, além das regras de produto para gradiente e divergência.
Passo 2
Vamos anotar as fórmulas que vamos usar:
– Gradiente do produto
– Gradiente do produto
– Definição de laplaciano
– Regra de produto para divergência, valendo para escalar
e campo vetorial
:
Passo 3
Prova de (a):
Aplicando a regra do produto em cada termo:
Somando, como
, obtemos
Passo 4
Prova de (b): basta aplicar (a) ao caso
, ou recomeçar direto:
Dividindo tudo por 2, chega-se a
Resposta
(a)
(b)
(b)