Sejam as funções f(x)=x^{2}-x-2 e g(x)=1-2 x. Pede-se:
a) g \circ f(x) e f \circ g(x)
b) f \circ g(-2) e g \circ f(-2)
c) os valores do domínio da função f \circ g(x) que produzem imagem 10.

Passo 1

O enunciado fornece as funções
f(x)=x^{2}-x-2
e
g(x)=1-2x
e pede três coisas:
  1. As composições g\circ f e f\circ g.
  2. Os valores de (f\circ g)(-2) e de (g\circ f)(-2).
  3. Resolver (f\circ g)(x)=10, isto é, achar os x que produzem imagem 10 em f\circ g.

Passo 2

Para obter g\circ f(x), substituímos u=f(x) em g(u)=1-2u:
g(f(x)) = 1 - 2\bigl(x^{2}-x-2\bigr)
\phantom{g(f(x))} = 1 - 2x^{2} + 2x + 4
\phantom{g(f(x))} = -2x^{2} + 2x + 5.
Para obter f\circ g(x), substituímos v=g(x)=1-2x em f(v)=v^{2}-v-2:
f(g(x)) = (1-2x)^{2} - (1-2x) - 2
\phantom{f(g(x))} = 1 - 4x + 4x^{2} - 1 + 2x - 2
\phantom{f(g(x))} = 4x^{2} - 4x - 2.

Passo 3

Agora avaliamos em x=-2.
Para (f\circ g)(-2):
g(-2)=1 - 2(-2)=1+4=5,
f(g(-2))=f(5)=5^{2}-5-2=25-5-2=18.
Para (g\circ f)(-2):
f(-2)=(-2)^{2}-(-2)-2=4+2-2=4,
g(f(-2))=g(4)=1-2\cdot4=1-8=-7.

Passo 4

Para achar os x tais que (f\circ g)(x)=10, resolvemos
4x^{2}-4x-2 = 10
4x^{2}-4x-12 = 0
x^{2}-x-3 = 0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}.

Resposta

a)
g\circ f(x) = -2x^{2} + 2x + 5, \quad f\circ g(x) = 4x^{2} - 4x - 2.
b)
(f\circ g)(-2) = 18, \quad (g\circ f)(-2) = -7.
c)
x = \frac{1 + \sqrt{13}}{2} \quad\text{ou}\quad x = \frac{1 - \sqrt{13}}{2}.

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